Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. Um bom método para mostrar que uma afirmação é falsa é apresentando um contra-exemplo.
Toda função contínua é derivável.
Toda função contínua é derivável.
Passo 1
O enunciado pergunta se toda função contínua é necessariamente derivável, assunto de análise real onde precisamos entender a relação entre continuidade e diferenciabilidade.
Passo 2
Precisamos lembrar as definições: uma função é contínua em um ponto se o limite coincide com o valor da função ali; é derivável se o limite do quociente incremental existe. Vale a teoria que derivabilidade implica continuidade, mas o recíproco pode falhar.
Passo 3
Para dar um contra-exemplo basta escolher uma função simples que seja contínua mas não tenha derivada em algum ponto. Tomemos
que todos conhecem por ter um “v” em zero.
Passo 4
Vamos mostrar que
é contínua em
, mas não derivável ali. Primeiro, como
, ela é contínua. Agora calculemos as derivadas laterais em zero:
Como as derivadas laterais em são diferentes, a derivada
não existe.
Como as derivadas laterais em
Passo 5
Isso mostra que nem toda função contínua é derivável: a afirmação é falsa.
Resposta
Falso. Um contra-exemplo é
, contínua em
mas não derivável em
.