Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. Um bom método para mostrar que uma afirmação é falsa é apresentando um contra-exemplo.
Toda função contínua é derivável.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda função contínua é necessariamente derivável, assunto de análise real onde precisamos entender a relação entre continuidade e diferenciabilidade.

Passo 2

Precisamos lembrar as definições: uma função é contínua em um ponto se o limite coincide com o valor da função ali; é derivável se o limite do quociente incremental existe. Vale a teoria que derivabilidade implica continuidade, mas o recíproco pode falhar.

Passo 3

Para dar um contra-exemplo basta escolher uma função simples que seja contínua mas não tenha derivada em algum ponto. Tomemos
f(x)=|x|,
que todos conhecem por ter um “v” em zero.

Passo 4

Vamos mostrar que f(x)=|x| é contínua em x=0, mas não derivável ali. Primeiro, como limxto0|x|=0=f(0), ela é contínua. Agora calculemos as derivadas laterais em zero:
f'+(0)=limhto0^+|0+h|-|0|h=limhto0^+hh=1,
f'-(0)=limhto0^-|0+h|-|0|h=limhto0^--hh=-1
Como as derivadas laterais em 0 são diferentes, a derivada f'(0) não existe.

Passo 5

Isso mostra que nem toda função contínua é derivável: a afirmação é falsa.

Resposta

Falso. Um contra-exemplo é f(x)=|x|, contínua em R mas não derivável em x=0.

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