Seja phi(x) uma função derivável tal que phi(1)=2, phi(2)=6, phi^prime(1)=3 e phi^prime(2)=-1. Calcule f^prime(1) supondo:
f(x)=phi(x^2+1).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função composta f(x)=φ(x²+1) e que φ é derivável com φ(1)=2, φ(2)=6, φ′(1)=3 e φ′(2)=−1. O que precisamos aqui é aplicar a regra da cadeia para derivar f.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, definimos u(x)=x²+1. Assim, f(x)=φ(u(x)) e a derivada de u é dada por u′(x)=2x.

Passo 3

Pela regra da cadeia temos a expressão geral
f(x)=φl(u(x)r)cdot u(x)

Passo 4

Agora, para x=1 calculamos u(1)=1²+1=2 e u′(1)=2·1=2. Em seguida substituímos φ′(2)=−1 na expressão de f′(1).

Resposta

f′(1)=−2

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