Seja
uma função derivável tal que
e
. Calcule
supondo:
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função composta f(x)=φ(x²+1) e que φ é derivável com φ(1)=2, φ(2)=6, φ′(1)=3 e φ′(2)=−1. O que precisamos aqui é aplicar a regra da cadeia para derivar f.
Passo 2
Para usar a regra da cadeia, definimos u(x)=x²+1. Assim, f(x)=φ(u(x)) e a derivada de u é dada por u′(x)=2x.
Passo 3
Pela regra da cadeia temos a expressão geral
Passo 4
Agora, para x=1 calculamos u(1)=1²+1=2 e u′(1)=2·1=2. Em seguida substituímos φ′(2)=−1 na expressão de f′(1).
Resposta
f′(1)=−2