Escreva a definição e apresente um exemplo para cada um dos verbetes abaixo:
Função não derivável em
.
Função não derivável em
Passo 1
O enunciado pede para definirmos o que significa uma função não ser derivável em um ponto x=a e, em seguida, dar um exemplo concreto dessa situação. Vamos usar conceitos de limite e derivada para isso.
Passo 2
A derivada de f em x=a, quando existe, é definida como o limite do quociente incremental:
[
f’(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
f’(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Se esse limite não existir ou for infinito, dizemos que f não é derivável em x=a.
Passo 3
Portanto, f é não derivável em x=a sempre que pelo menos um dos seguintes ocorrer:
• o limite lateral à esquerda e o limite lateral à direita forem diferentes;
• um deles for infinito;
• o limite simplesmente não existir por oscilar.
• o limite lateral à esquerda e o limite lateral à direita forem diferentes;
• um deles for infinito;
• o limite simplesmente não existir por oscilar.
Passo 4
Um exemplo clássico é a função valor absoluto em x=0. Definimos
$$
f(x)=|x|.
f(x)=|x|.
Se calcularmos as derivadas laterais em 0, temos:
[
f’{+}(0)=\lim{h\to0+}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0+}\frac{h}{h}=1,
f’{+}(0)=\lim{h\to0+}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0+}\frac{h}{h}=1,
$$
[
f’{-}(0)=\lim{h\to0-}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0-}\frac{-h}{h}=-1.
f’{-}(0)=\lim{h\to0-}\frac{|h|-|0|}{h}=\lim_{h\to0-}\frac{-h}{h}=-1.
Como 1\neq -1, o limite total não existe, logo f não é derivável em x=0.
Resposta
Definição: Dizemos que uma função f não é derivável em x=a se o limite
não existir (seja por divergência infinita, por diferença entre limites laterais ou por oscilação).
Exemplo: A função f(x)=|x| não é derivável em x=0, pois
e esses limites laterais são distintos, impedindo que a derivada em 0 exista.