Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=raiz[3]x^3+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=√[3]{x³+1}. Isso envolve conteúdo de derivada de função composta, usando a regra da cadeia e a regra do poder.

Passo 2

Para facilitar, reescrevemos f(x) como f(x)=(x³+1)^{1/3}. Identificamos a função externa g(u)=u^{1/3} e a função interna h(x)=x³+1.

Passo 3

Pela regra da cadeia, f’(x)=g’(h(x))·h’(x). Sabemos que g’(u)= tfrac13u^-2/3 (regra do poder) e h’(x)=3x².

Passo 4

Substituindo, f’(x)= tfrac13(x³+1)^-2/3³·(3x²). Simplificando o 3 com 1/3, obtemos f’(x)=x²·(x³+1)^{-2/3}.

Resposta

f'(x)=x²(x³+1)^2/3²³

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