Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. Um bom método para mostrar que uma afirmação é falsa é apresentando um contra-exemplo.
Toda função derivável é contínua.

Passo 1

O enunciado pergunta se é verdade que “toda função derivável é contínua”. O conteúdo é do capítulo de Análise, envolvendo as definições de derivada e de continuidade, e vamos precisar usar a própria definição de derivada para mostrar continuidade.

Passo 2

Vamos lembrar as definições. Dizemos que uma função f é derivável em um ponto x0 se existe o limite
limhto0f(x0+h)-f(x0)h=f'(x0)
E dizemos que f é contínua em x0 se
limxto x0f(x)=f(x0)

Passo 3

Para mostrar que derivabilidade implica continuidade, consideramos a diferença
f(x0+h)-f(x0)
Podemos escrever
f(x0+h)-f(x0)=hcdotf(x0+h)-f(x0)h
Como f é derivável, sabemos que
limhto0f(x0+h)-f(x0)h=f'(x0),
e esse limite é um número finito.

Passo 4

Agora, tomando o limite de f(x0+h)-f(x0) quando hto0, temos
limhto0l(f(x0+h)-f(x0)r)=limhto0hcdotf(x0+h)-f(x0)h=0cdot f'(x0)=0
Isto mostra que
limhto0f(x0+h)=f(x0),
ou seja, f é contínua em x0.

Passo 5

Como o argumento vale para qualquer ponto x0 onde a derivada exista, concluímos que sempre que uma função é derivável em um intervalo, ela também é contínua nesse intervalo.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados