Responda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas. Um bom método para mostrar que uma afirmação é falsa é apresentando um contra-exemplo.
Toda função derivável é contínua.
Toda função derivável é contínua.
Passo 1
O enunciado pergunta se é verdade que “toda função derivável é contínua”. O conteúdo é do capítulo de Análise, envolvendo as definições de derivada e de continuidade, e vamos precisar usar a própria definição de derivada para mostrar continuidade.
Passo 2
Vamos lembrar as definições. Dizemos que uma função
é derivável em um ponto
se existe o limite
E dizemos que
é contínua em
se
Passo 3
Para mostrar que derivabilidade implica continuidade, consideramos a diferença
Podemos escrever
Como
é derivável, sabemos que
e esse limite é um número finito.
Passo 4
Agora, tomando o limite de
quando
, temos
Isto mostra que
ou seja,
é contínua em
.
Passo 5
Como o argumento vale para qualquer ponto
onde a derivada exista, concluímos que sempre que uma função é derivável em um intervalo, ela também é contínua nesse intervalo.
Resposta
Verdadeira.