Determine a solução do PVI
x^2 y'' + x y' + y = 12 x, y(1) = 1, y'(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial com condições iniciais. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações de Euler-Cauchy e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação:
Essa é uma equação diferencial linear do tipo:
No nosso caso:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é zero:
Para resolver isso, usamos o método de tentativa de solução do tipo potência, assumindo uma solução da forma . Vamos encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 4

Derivando :
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo , temos que:

Passo 5

Como as raízes são complexas , a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, usamos que e aplicamos a fórmula para raízes complexas na equação de Euler-Cauchy.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é , tentamos uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes e .
Primeiro, :
Sabemos que , então:
Agora, vamos calcular para usar a segunda condição :
Derivando a solução geral:
Aplicando :

Resposta

Então, a solução do problema é:

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