Determine a solução do PVI
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de equação diferencial com condições iniciais. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações de Euler-Cauchy e encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a identificação:
Essa é uma equação diferencial linear do tipo:
No nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é zero:
Para resolver isso, usamos o método de tentativa de solução do tipo potência, assumindo uma solução da forma
. Vamos encontrar os valores de
que satisfazem a equação.
Passo 4
Derivando
:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Para que isso seja válido para todo
, temos que:
Passo 5
Como as raízes são complexas
, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, usamos que
e aplicamos a fórmula para raízes complexas na equação de Euler-Cauchy.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Comparando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro,
:
Sabemos que
, então:
Agora, vamos calcular
para usar a segunda condição
:
Derivando a solução geral:
Aplicando
:
Resposta
Então, a solução do problema é: