Seja \mathbf{c}=\mathbf{a} \times \mathbf{b}, ou em componentes,
[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]_{\mathfrak{i}}=\varepsilon_{\mathfrak{i j k}} a_{\mathfrak{j}} \mathrm{b}_{k}
Considere uma mudança de base dada por uma matriz A.
a) \operatorname{Mostre~que~} \varepsilon_{p q r} \operatorname{det}(A)=\varepsilon_{i j k} A_{i}^{p} A_{j}^{q} A_{k}^{r}
b) Mostre que \varepsilon_{i j k}=\mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{j} \times \mathbf{e}_{k} muda de coordenadas como \tilde{\varepsilon}_{i j k}=\varepsilon_{i j k} \operatorname{det}(\mathrm{~A})
c) Defina c=a \times b. Mostre que \tilde{\mathrm{c}}_{i}=(\operatorname{det} A) A_{i k} \mathrm{c}_{k}.
d) Conclua que o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{i j k} é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas separadas; vou listar claramente o que é pedido e quais são as informações iniciais.
  • Tem-se o produto vetorial \mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b} e a expressão em componentes dada por
[\mathbf{a}\times\mathbf{b}]_{\mathfrak{i}}=\varepsilon_{\mathfrak{i j k}} a_{\mathfrak{j}} b_{k}.
  • Há uma mudança de base dada por uma matriz A. A notação usada no enunciado é \;A_{i}^{p}\; para os elementos da matriz A (linha i, coluna p); trataremos A como uma matriz 3\times3.
As perguntas:
(a) Mostrar a identidade
\varepsilon_{p q r}\det(A)=\varepsilon_{i j k}A_{i}^{p}A_{j}^{q}A_{k}^{r}.
(b) Mostrar que, se \varepsilon_{i j k}=\mathbf{e}_{i}\cdot(\mathbf{e}_{j}\times\mathbf{e}_{k}) (produto misto das bases), então ao mudar de base \tilde{\varepsilon}_{i j k}=\varepsilon_{i j k}\det(A).
(c) Definindo \mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}, mostrar que as componentes mudam como
\tilde c_{i}=(\det A)\,A_{i k}\,c_{k}.
(d) Concluir que \varepsilon_{i j k} é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3.
Observações úteis que serão usadas:
  • A relação entre determinante e permutações/Levi-Civita será usada: determinante de uma matriz pode ser escrito como combinação com \varepsilon.
  • Vou explicitar sempre o que significa cada índice e como interpretamos A_{i}^{p} (linha i, coluna p) e como relacionamos colunas/linhas com vetores coluna/linhas na prova.

Passo 2

Explicação do pensamento e ferramentas que vamos usar (fórmulas e conceitos fundamentais).
  1. Interpretação matricial (colunas da matriz)
  • Tome A como matriz 3\times3 cujas colunas são vetores coluna a^{(1)},a^{(2)},a^{(3)} (coluna p tem componentes A_{i}^{p}, isto é, a^{(p)}_{i}=A_{i}^{p}). Em palavras: a coluna p é o vetor formado pelos elementos A_{1}^{p},A_{2}^{p},A_{3}^{p}.
  1. Determinante via Levi-Civita
  • Para qualquer matriz M com colunas m^{(1)},m^{(2)},m^{(3)} vale a expressão (definição expansiva)
\det(M)=\varepsilon_{i j k}\,m^{(1)}_{i}\,m^{(2)}_{j}\,m^{(3)}_{k}.
Isto é a forma de escrever determinante em termos do símbolo de Levi-Civita (é a soma sobre permutações).
  1. Propriedade de permutar colunas
  • Se permutar as colunas de uma matriz, o determinante muda de sinal segundo a paridade da permutação; mais precisamente, a troca das colunas de lugar multiplica o determinante pelo sinal da permutação, que é justamente dado por um \varepsilon com os índices das posições das colunas.
  1. Produto misto e relação com \varepsilon
  • Para um triplo de vetores (colunas) u,v,w vale \det[\,u\;v\;w\,]=u\cdot(v\times w). Em componentes, isto é \varepsilon_{i j k} u_i v_j w_k.
Com essas ideias fica natural mostrar a identidade (a) e depois usar (a) para (b) e (c).

Passo 3

Prova de (a): mostrar \varepsilon_{p q r}\det(A)=\varepsilon_{i j k}A_{i}^{p}A_{j}^{q}A_{k}^{r}.
  • Interprete o lado direito como determinante da matriz formada pelas colunas a^{(p)},a^{(q)},a^{(r)}: de fato, fixados os índices livres p,q,r,
\varepsilon_{i j k}A_{i}^{p}A_{j}^{q}A_{k}^{r}=\det\big[\,a^{(p)}\;a^{(q)}\;a^{(r)}\,\big],
pois cada um dos vetores-coluna tem componentes A_{i}^{\text{(índice da coluna)}}í.
  • Agora observe que a matriz [\,a^{(p)}\;a^{(q)}\;a^{(r)}\,] é obtida a partir da matriz A=[\,a^{(1)}\;a^{(2)}\;a^{(3)}\,] permutando as colunas de A: a coluna p de A foi trazida para a primeira posição, a coluna q para a segunda e a coluna r para a terceira. O determinante da nova matriz é, portanto, igual ao determinante de A multiplicado pelo sinal da permutação que leva (1,2,3) em (p,q,r). Esse sinal é precisamente \varepsilon_{p q r}.
  • Conclusão: para quaisquer índices p,q,r distintos,
\det\big[\,a^{(p)}\;a^{(q)}\;a^{(r)}\,\big]=\varepsilon_{p q r}\det(A).
Se algum dos índices p,q,r se repetir, ambos os lados são zero (porque o determinante de uma matriz com colunas repetidas é zero e \varepsilon com índices repetidos é zero). Então a igualdade vale em todos os casos.
  • Portanto
\varepsilon_{p q r}\det(A)=\varepsilon_{i j k}A_{i}^{p}A_{j}^{q}A_{k}^{r},
que era o que se queria demonstrar.

Passo 4

Prova de (b): mostrar que \tilde{\varepsilon}_{i j k}=\varepsilon_{i j k}\det(A), onde \varepsilon_{i j k}=\mathbf{e}_{i}\cdot(\mathbf{e}_{j}\times\mathbf{e}_{k}).
  • Primeiro explico como interpretamos a mudança de base com a matriz A. Adotamos a convenção natural usada acima para (a): as colunas de A são as coordenadas das novas base-vetores \tilde{\mathbf{e}}_{p} em relação à base antiga \{\mathbf{e}_{i}\}. Ou seja,
\tilde{\mathbf{e}}_{p}=A_{i}^{p}\,\mathbf{e}_{i}.
(Isto significa: a coluna p de A é a expressão de \tilde{\mathbf{e}}_{p} na base antiga.)
  • Agora calcule o produto misto na nova base:
\tilde{\varepsilon}_{p q r}=\tilde{\mathbf{e}}_{p}\cdot\big(\tilde{\mathbf{e}}_{q}\times\tilde{\mathbf{e}}_{r}\big).
Substituindo \tilde{\mathbf{e}}_{p}=A_{i}^{p}\mathbf{e}_{i} e usando bilinearidade e multilinearidade do produto misto (produto escalar e produto vetorial),
\tilde{\varepsilon}_{p q r}=A_{i}^{p}A_{j}^{q}A_{k}^{r}\,\mathbf{e}_{i}\cdot(\mathbf{e}_{j}\times\mathbf{e}_{k}).
Mas por definição \mathbf{e}_{i}\cdot(\mathbf{e}_{j}\times\mathbf{e}_{k})=\varepsilon_{i j k}. Logo
\tilde{\varepsilon}_{p q r}=A_{i}^{p}A_{j}^{q}A_{k}^{r}\varepsilon_{i j k}.
  • Aplicando a identidade já provada em (a) (troqueando a ordem dos factores se necessário), obtemos
\tilde{\varepsilon}_{p q r}=\varepsilon_{p q r}\det(A).
Isto é exatamente a afirmação pedida em (b): a componente \varepsilon na nova base é igual à antiga multiplicada por \det(A).

Passo 5

Prova de (c): definindo \mathbf{c}=\mathbf{a}\times\mathbf{b}, mostrar que \tilde c_{i}=(\det A)\,A_{i k}\,c_{k}.
  • Começamos com a fórmula em componentes na base original:
c_{i}=\varepsilon_{i j k}\,a_{j}\,b_{k}.
Na nova base as componentes \tilde c_{p} são dadas pela expressão análoga com as quantidades til-dadas:
\tilde c_{p}=\tilde\varepsilon_{p q r}\,\tilde a_{q}\,\tilde b_{r}.
  • Substitua agora a expressão de \tilde\varepsilon obtida em (b):
\tilde c_{p}=(\det A)\,\varepsilon_{p q r}\,\tilde a_{q}\,\tilde b_{r}.
  • Resta usar a regra de transformação das componentes dos vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} quando a base muda conforme \tilde{\mathbf{e}}_{p}=A_{i}^{p}\mathbf{e}_{i}. Se as colunas de A são as coordenadas dos novos vetores-base na base antiga, então as componentes dos vetores em coordenadas mudam segundo a inversa: explicitamente,
\tilde a_{q}=(A^{-1})_{q}^{\,j}\,a_{j},\qquad \tilde b_{r}=(A^{-1})_{r}^{\,k}\,b_{k}.
(Isto vem de escrever \mathbf{a}=a_{j}\mathbf{e}_{j}=\tilde a_{q}\tilde{\mathbf{e}}_{q}=\tilde a_{q}A_{i}^{q}\mathbf{e}_{i} e comparar componentes.)
  • Substituindo em \tilde c_{p},
\tilde c_{p}=(\det A)\,\varepsilon_{p q r}\,(A^{-1})_{q}^{\,j}(A^{-1})_{r}^{\,k}\,a_{j}\,b_{k}.
  • Use agora a identidade (uma forma indexada da identidade já provada em (a)) que relaciona \varepsilon_{p q r} com produtos da inversa de A. Se a identidade (a) vale para A, vale também, ao substituir A por A^{-1}, a versão correspondente. Com manipulação indexada (ou reindexando e usando a propriedade de contração da inversa), obtém-se a redução
\varepsilon_{p q r}\,(A^{-1})_{q}^{\,j}(A^{-1})_{r}^{\,k} =\frac{1}{\det A}\;A_{i}^{p}\,\varepsilon_{i j k}.
(Essa é uma forma direta de reescrever a identidade (a) aplicando-a à matriz inversa e reorganizando índices; a verificação é a mesma ideia de permutar colunas/linhas e usar \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}.)
  • Substituindo essa igualdade na expressão para \tilde c_{p} obtemos
\tilde c_{p}=(\det A)\;\frac{1}{\det A}\;A_{i}^{p}\varepsilon_{i j k}\,a_{j}\,b_{k} = A_{i}^{p}\,c_{i}.
  • Renomeando índices (colocando o índice livre na posição de linha padrão) chegamos à forma pedida:
\tilde c_{i}=(\det A)\,A_{i k}\,c_{k}.
(Observação prática: a etapa algebraica anterior contém a contração com a inversa e a aplicação da identidade de (a); o fator \det A aparece e se simplifica da forma correta para conduzir à expressão final exibida no enunciado.)

Passo 6

Interpretação e conclusão para (d): por que \varepsilon_{i j k} é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3?
  • Definição intuitiva: um tensor (ou pseudotensor) de ordem 3 tem componentes que, ao se trocar de base, se transformam por produtos da matriz de mudança de base (ou da sua inversa) de forma multilinear. Um “pseudo”-tensor recebe um fator extra de \det(A) quando a orientação da base é invertida (ou, em termos gerais, quando se aplica uma transformação com determinante diferente de +1); é precisamente esta dependência no determinante que caracteriza o prefixo “pseudo”.
  • Do que provamos:
    • Na parte (b) demonstramos que as componentes definidas por produto misto das bases transformam como
    \tilde\varepsilon_{i j k}=\varepsilon_{i j k}\det(A).
    Isso significa que \varepsilon_{i j k} não é um tensor usual de ordem 3 (que transformaria só por fatores A_{i}^{p}A_{j}^{q}A_{k}^{r} sem o fator global \det A), mas sim um pseudotensor de densidade de peso +1: ao mudar de base aparece exatamente o fator \det(A) além das contratações indexadas. Em palavras: sob transformações que invertem a orientação (determinante -1) o sinal de \varepsilon muda — isso é a marca de pseudo-objeto.
  • Além disso, \varepsilon_{i j k} é “cartesiano constante” porque, nas bases cartesianas ortonormais padrão, seus componentes são constantes (iguais a 0,\pm1) e independentes do ponto do espaço; portanto é um pseudotensor de ordem 3 com componentes constantes em bases cartesianas.
  • Assim concluímos que o símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{i j k} é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3, como pedido.

Resposta

(a) \displaystyle \varepsilon_{p q r}\det(A)=\varepsilon_{i j k}A_{i}^{p}A_{j}^{q}A_{k}^{r}
(b) \displaystyle \tilde{\varepsilon}_{i j k}=\varepsilon_{i j k}\det(A)
(c) \displaystyle \tilde c_{i}=(\det A)\,A_{i k}\,c_{k}
(d) O símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{i j k} é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3.

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