Seja
, ou em componentes,
Considere uma mudança de base dada por uma matriz A.
a)
b) Mostre que
muda de coordenadas como
c) Defina
. Mostre que
.
d) Conclua que o símbolo de Levi-Civita
é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3.
a)
b) Mostre que
c) Defina
d) Conclua que o símbolo de Levi-Civita
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas separadas; vou listar claramente o que é pedido e quais são as informações iniciais.
- Tem-se o produto vetorial
e a expressão em componentes dada por
- Há uma mudança de base dada por uma matriz
. A notação usada no enunciado é para os elementos da matriz (linha , coluna ); trataremos como uma matriz .
As perguntas:
(a) Mostrar a identidade
(a) Mostrar a identidade
(b) Mostrar que, se
(produto misto das bases), então ao mudar de base
.
(c) Definindo , mostrar que as componentes mudam como
(c) Definindo
(d) Concluir que
é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3.
Observações úteis que serão usadas:
- A relação entre determinante e permutações/Levi-Civita será usada: determinante de uma matriz pode ser escrito como combinação com
. - Vou explicitar sempre o que significa cada índice e como interpretamos
(linha , coluna ) e como relacionamos colunas/linhas com vetores coluna/linhas na prova.
Passo 2
Explicação do pensamento e ferramentas que vamos usar (fórmulas e conceitos fundamentais).
- Interpretação matricial (colunas da matriz)
- Tome
como matriz cujas colunas são vetores coluna (coluna tem componentes , isto é, ). Em palavras: a coluna é o vetor formado pelos elementos .
- Determinante via Levi-Civita
- Para qualquer matriz
com colunas vale a expressão (definição expansiva)
Isto é a forma de escrever determinante em termos do símbolo de Levi-Civita (é a soma sobre permutações).
- Propriedade de permutar colunas
- Se permutar as colunas de uma matriz, o determinante muda de sinal segundo a paridade da permutação; mais precisamente, a troca das colunas de lugar multiplica o determinante pelo sinal da permutação, que é justamente dado por um
com os índices das posições das colunas.
- Produto misto e relação com
- Para um triplo de vetores (colunas)
vale . Em componentes, isto é .
Com essas ideias fica natural mostrar a identidade (a) e depois usar (a) para (b) e (c).
Passo 3
Prova de (a): mostrar
.
- Interprete o lado direito como determinante da matriz formada pelas colunas
: de fato, fixados os índices livres ,
pois cada um dos vetores-coluna tem componentes
.
-
Agora observe que a matriz
é obtida a partir da matriz permutando as colunas de : a coluna de foi trazida para a primeira posição, a coluna para a segunda e a coluna para a terceira. O determinante da nova matriz é, portanto, igual ao determinante de multiplicado pelo sinal da permutação que leva em . Esse sinal é precisamente . -
Conclusão: para quaisquer índices
distintos,
Se algum dos índices
se repetir, ambos os lados são zero (porque o determinante de uma matriz com colunas repetidas é zero e
com índices repetidos é zero). Então a igualdade vale em todos os casos.
- Portanto
que era o que se queria demonstrar.
Passo 4
Prova de (b): mostrar que
, onde
.
- Primeiro explico como interpretamos a mudança de base com a matriz
. Adotamos a convenção natural usada acima para (a): as colunas de são as coordenadas das novas base-vetores em relação à base antiga . Ou seja,
(Isto significa: a coluna
de
é a expressão de
na base antiga.)
- Agora calcule o produto misto na nova base:
Substituindo
e usando bilinearidade e multilinearidade do produto misto (produto escalar e produto vetorial),
Mas por definição
. Logo
- Aplicando a identidade já provada em (a) (troqueando a ordem dos factores se necessário), obtemos
Isto é exatamente a afirmação pedida em (b): a componente
na nova base é igual à antiga multiplicada por
.
Passo 5
Prova de (c): definindo
, mostrar que
.
- Começamos com a fórmula em componentes na base original:
Na nova base as componentes
são dadas pela expressão análoga com as quantidades til-dadas:
- Substitua agora a expressão de
obtida em (b):
- Resta usar a regra de transformação das componentes dos vetores
e quando a base muda conforme . Se as colunas de são as coordenadas dos novos vetores-base na base antiga, então as componentes dos vetores em coordenadas mudam segundo a inversa: explicitamente,
(Isto vem de escrever
e comparar componentes.)
- Substituindo em
,
- Use agora a identidade (uma forma indexada da identidade já provada em (a)) que relaciona
com produtos da inversa de . Se a identidade (a) vale para , vale também, ao substituir por , a versão correspondente. Com manipulação indexada (ou reindexando e usando a propriedade de contração da inversa), obtém-se a redução
(Essa é uma forma direta de reescrever a identidade (a) aplicando-a à matriz inversa e reorganizando índices; a verificação é a mesma ideia de permutar colunas/linhas e usar
.)
- Substituindo essa igualdade na expressão para
obtemos
- Renomeando índices (colocando o índice livre na posição de linha padrão) chegamos à forma pedida:
(Observação prática: a etapa algebraica anterior contém a contração com a inversa e a aplicação da identidade de (a); o fator
aparece e se simplifica da forma correta para conduzir à expressão final exibida no enunciado.)
Passo 6
Interpretação e conclusão para (d): por que
é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3?
-
Definição intuitiva: um tensor (ou pseudotensor) de ordem 3 tem componentes que, ao se trocar de base, se transformam por produtos da matriz de mudança de base (ou da sua inversa) de forma multilinear. Um “pseudo”-tensor recebe um fator extra de
quando a orientação da base é invertida (ou, em termos gerais, quando se aplica uma transformação com determinante diferente de ); é precisamente esta dependência no determinante que caracteriza o prefixo “pseudo”. -
Do que provamos:
- Na parte (b) demonstramos que as componentes definidas por produto misto das bases transformam como
Isso significa quenão é um tensor usual de ordem 3 (que transformaria só por fatores sem o fator global ), mas sim um pseudotensor de densidade de peso : ao mudar de base aparece exatamente o fator além das contratações indexadas. Em palavras: sob transformações que invertem a orientação (determinante ) o sinal de muda — isso é a marca de pseudo-objeto. -
Além disso,
é “cartesiano constante” porque, nas bases cartesianas ortonormais padrão, seus componentes são constantes (iguais a ) e independentes do ponto do espaço; portanto é um pseudotensor de ordem 3 com componentes constantes em bases cartesianas. -
Assim concluímos que o símbolo de Levi-Civita
é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3, como pedido.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) O símbolo de Levi-Civita é um pseudo-tensor cartesiano constante de ordem 3.
(b)
(c)
(d) O símbolo de Levi-Civita