Use o Teorema de Green para calcular
ointgamma(y+raizx+ln xx^2+x+1) d x+(6 x+raizyraizy+4) d y
onde gamma é a circunferência x^2+y^2=4 x, orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha ointgammaP,dx+Q,dy onde P(x,y)=y+dfracraizx+ln xx^2+x+1 e Q(x,y)=6x+dfracraizyraizy+4, usando o Teorema de Green. Vamos precisar do enunciado do Teorema de Green, das derivadas parciais de P e Q e da área do domínio interior a gamma.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se gamma é a fronteira positivamente orientada de um domínio D onde P e Q são C^1, então
ointgammaP,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x=partialpartial xl(6x+raizyraizy+4r)=6, partial Ppartial y=partialpartial yl(y+raizx+ln xx^2+x+1r)=1

Passo 4

Assim o integrando fica constante:
partial Qpartial x-partial Ppartial y=6-1=5
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ointgammaP,dx+Q,dy=integral duplaD5,dA=5cdotÁrea(D) Á

Passo 5

Agora descrevemos gamma: x^2+y^2=4x é a circunferência
(x-2)^2+y^2=2^2
de raio 2, então
Área(D)=picdot2^2=4pi Á
Portanto a integral vale
5times4pi=20pi

Resposta

20pi

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