1. Escreva o diferencial total de uma função de duas variáveis z=f(x, y)
  2. Descreva conceitualmente o que é o diferencial total
  3. Calcule o diferencial total da função f(x, y)=2 x^2+3 x y-y no ponto (1,1).
  4. Dada a função f(x, y)=2 x^2 y-2 x y^2, calcule uma aproximação linear para o acréscimo de f quando (x, y) passa de (1,1) para (1.01,1.02). Calcule o erro da aproximação linear.
  5. Dado que um cilindro reto produzido por um fábrica tem raio de base r=20 cm e altura h=40 cm, e que os cilindros passam por uma verificação de qualidade, garantindo que o erro máximo no raio é 0.1 cm e o erro máximo da altura é 0.2 cm . Estime a variação máxima que pode ser encontrada no volume desse cilindro.

Passo 1

O enunciado tem cinco itens sobre diferenciais e aproximações lineares em funções de duas variáveis e aplicação a volume de cilindro. Vamos precisar de cálculo de derivadas parciais, fórmula do diferencial total, aproximação linear e estimativa de erro de primeira ordem.

Passo 2

Para uma função de duas variáveis z=f(x,y), o diferencial total dz é dado pela soma das contribuições lineares de cada variável. Calculamos as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y e multiplicamos pelos incrementos dx e dy. Assim,
dz = partial fpartial x,dx + partial fpartial y,dy
Conceitualmente, o diferencial total é a melhor aproximação linear de como f varia quando (x,y) se desloca de (x,y) para (x+dx,y+dy). Geometricamente, é o valor da variação projetada no plano tangente ao gráfico de f. O erro dessa aproximação é de segunda ordem em dx,dy, ou seja, negligenciável para incrementos pequenos.

Passo 3

Temos f(x,y)=2x^2+3xy-y. Calculamos
partial fpartial x = 4x + 3y, partial fpartial y = 3x - 1
No ponto (1,1) isso vale
partial fpartial x(1,1)=4cdot1+3cdot1=7, partial fpartial y(1,1)=3cdot1-1=2
Logo, o diferencial total em (1,1) é
dz = 7,dx + 2,dy

Passo 4

Para f(x,y)=2x^2y-2xy^2 temos
partial fpartial x = 4xy - 2y^2, partial fpartial y = 2x^2 - 4xy
Em (1,1) isso dá
partial fpartial x(1,1)=4-2=2, partial fpartial y(1,1)=2-4=-2
Assim a aproximação linear do incremento para De<a x=0,01 e De<a y=0,02 é
dL = 2cdot0,01 + (-2)cdot0,02 = 0,02 - 0,04 = -0,02
O valor exato de De<a f=f(1,01,1,02)-f(1,1) é
f(1,01,1,02) =2cdot1,01^2cdot1,02 -2cdot1,01cdot1,02^2 approx -0,020604,
como f(1,1)=0. Logo o erro da aproximação linear é
erro = De<a f - dL approx -0,020604 - (-0,02) = -0,000604

Passo 5

O volume de um cilindro é V=pi r^2 h. Seu diferencial total é
dV = partial Vpartial r,dr + partial Vpartial h,dh = 2pi r h,dr + pi r^2,dh
Com r=20 cm, h=40 cm, drmax=0,1 cm e dhmax=0,2 cm, a variação máxima em módulo é
|dV| <= 2picdot20cdot40cdot0,1 + picdot20^2cdot0,2 =240pi cm^3 approx 754 cm^3

Resposta

  1. dz = partial fpartial x,dx + partial fpartial y,dy
  2. O diferencial total é a aproximação linear da variação de f pelo plano tangente, de primeira ordem em dx,dy.
  3. Para f(x,y)=2x^2+3xy-y em (1,1): dz = 7,dx + 2,dy
  4. Para f(x,y)=2x^2y-2xy^2 de (1,1) a (1,01,1,02):
    Aproximação linear dL=-0,02.
    Erro approx -0,000604.
  5. Para o cilindro com r=20 cm,h=40 cm, dr=0,1, dh=0,2:
    Variação máxima approx 240pi cm^3approx754 cm^3.

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