- Escreva o diferencial total de uma função de duas variáveis
- Descreva conceitualmente o que é o diferencial total
- Calcule o diferencial total da função
no ponto
.
- Dada a função
, calcule uma aproximação linear para o acréscimo de f quando
passa de
para
. Calcule o erro da aproximação linear.
- Dado que um cilindro reto produzido por um fábrica tem raio de base
e altura
, e que os cilindros passam por uma verificação de qualidade, garantindo que o erro máximo no raio é 0.1 cm e o erro máximo da altura é 0.2 cm . Estime a variação máxima que pode ser encontrada no volume desse cilindro.
Passo 1
O enunciado tem cinco itens sobre diferenciais e aproximações lineares em funções de duas variáveis e aplicação a volume de cilindro. Vamos precisar de cálculo de derivadas parciais, fórmula do diferencial total, aproximação linear e estimativa de erro de primeira ordem.
Passo 2
Para uma função de duas variáveis
, o diferencial total
é dado pela soma das contribuições lineares de cada variável. Calculamos as derivadas parciais
e
e multiplicamos pelos incrementos
e
. Assim,
Conceitualmente, o diferencial total é a melhor aproximação linear de como
varia quando
se desloca de
para
. Geometricamente, é o valor da variação projetada no plano tangente ao gráfico de
. O erro dessa aproximação é de segunda ordem em
, ou seja, negligenciável para incrementos pequenos.
Passo 3
Temos
. Calculamos
No ponto
isso vale
Logo, o diferencial total em
é
Passo 4
Para
temos
Em
isso dá
Assim a aproximação linear do incremento para
e
é
O valor exato de
é
como
. Logo o erro da aproximação linear é
Passo 5
O volume de um cilindro é
. Seu diferencial total é
Com
,
,
e
, a variação máxima em módulo é
Resposta
-
- O diferencial total é a aproximação linear da variação de
pelo plano tangente, de primeira ordem em . - Para
em : - Para
de a :
Aproximação linear.
Erro. - Para o cilindro com
, , :
Variação máxima.