81 Um balão de borracha foi inflado de modo que seu volume interno aumentou na razão de
por segundo, até atingir a capacidade máxima antes que estourasse. Observou-se que, 61 segundos antes da interrupção da injeção de ar, o balão já tinha uma forma esférica com 12 cm de raio, mesmo sem estar completamente cheio, e que a forma esférica se manteve com o raio aumentando continuamente. Desprezando a espessura da parede de borracha do balão, calcule:
a) o raio do balão, em centímetro, quando foi atingida a capacidade máxima.
b) a taxa média de variação da área da superfície do balão, em
por segundo, a partir do instante em que o raio atingiu 12 cm até o instante em que foi atingida a capacidade máxima.
a) o raio do balão, em centímetro, quando foi atingida a capacidade máxima.
b) a taxa média de variação da área da superfície do balão, em
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um balão esférico cuja parede é desprezível, com volume variando segundo a relação
de forma constante até o instante em que a injeção de ar é interrompida. Sabe-se que, 61 segundos antes desse instante, o raio do balão era
,cm e continuava crescendo.
Passo 2
Expressão do volume de uma esfera em função do raio:
No instante em que
,cm (que chamamos de
), o volume é
Como
, após
,s o volume será
Passo 3
Para achar o raio final
, resolvemos
Passo 4
A área da superfície esférica é dada por
No início (
) temos
e no final (
)
A variação de área em
,s é
Logo, a taxa média de variação da área é
Resposta
a)
cm
b)
b)