81 Um balão de borracha foi inflado de modo que seu volume interno aumentou na razão de 36 pi cm^3 por segundo, até atingir a capacidade máxima antes que estourasse. Observou-se que, 61 segundos antes da interrupção da injeção de ar, o balão já tinha uma forma esférica com 12 cm de raio, mesmo sem estar completamente cheio, e que a forma esférica se manteve com o raio aumentando continuamente. Desprezando a espessura da parede de borracha do balão, calcule:
a) o raio do balão, em centímetro, quando foi atingida a capacidade máxima.
b) a taxa média de variação da área da superfície do balão, em cm^2 por segundo, a partir do instante em que o raio atingiu 12 cm até o instante em que foi atingida a capacidade máxima.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um balão esférico cuja parede é desprezível, com volume variando segundo a relação
dVdt=36pi cm^3/s,
de forma constante até o instante em que a injeção de ar é interrompida. Sabe-se que, 61 segundos antes desse instante, o raio do balão era 12,cm e continuava crescendo.

Passo 2

Expressão do volume de uma esfera em função do raio:
V=43pi r^3
No instante em que r=12,cm (que chamamos de t=0), o volume é
V1=43pi,(12)^3=43picdot1728=2304pi cm^3
Como dV/dt=36pi, após 61,s o volume será
V2=V1+dVdtcdot61 =2304pi+36picdot61 =2304pi+2196pi =4500pi cm^3

Passo 3

Para achar o raio final r2, resolvemos
43pi,r2^3=4500pi Longrightarrow r2^3=3cdot4500pi4pi=135004=3375 Longrightarrow r2=raiz[3]3375=15 cm

Passo 4

A área da superfície esférica é dada por
A=4pi r^2
No início ( r=12) temos
A1=4pi,(12)^2=576pi,
e no final ( r=15)
A2=4pi,(15)^2=900pi
A variação de área em 61,s é
De<a A=A2-A1=900pi-576pi=324pi
Logo, a taxa média de variação da área é
De<a ADe<a t =324pi61 cm^2/s

Resposta

a) 15 cm
b) 324pi61 cm^2/s

Exercícios relacionados