Questão 1
Determine o trabalho
feito pelo campo de força
ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo
,
. (Dica:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Determine o trabalho
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para calcular o trabalho
feito por um campo de força
ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo definido por
, onde
. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como calcular o trabalho
feito por um campo de força ao longo de uma curva. A fórmula que vamos usar é:
Aqui,
é o campo de força avaliado ao longo da curva
, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos primeiro calcular
. Dada a curva
, derivando componente a componente:
Passo 4
Agora, vamos substituir
no campo de força
:
Passo 5
Com
e
calculados, vamos fazer o produto escalar deles:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral para
:
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Passo 8
Agora, resolvemos a integral:
Mas lembre-se que tínhamos um sinal negativo no início, então:
Resposta
A resposta correta é a opção (e)
.