Questão 1
Determine o trabalho T feito pelo campo de força F(x, y)=(x^2,-x y) ao se mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo r(t)=(cos t, sin t), 0 <= t <= pi / 2. (Dica: T=integralC F cdot d r=integralC F(r(t)) cdot r^prime(t) d t)
(a) 3 / 2
(b) 2 / 3
© 1 / 3
(d) -1 / 3
(e) -2 / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para calcular o trabalho feito por um campo de força ao mover uma partícula ao longo de um quarto de círculo definido por , onde . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o trabalho T = integralC F cdot dr = integral0^pi2 F(r(t)) cdot r'(t) , dt feito por um campo de força ao longo de uma curva. A fórmula que vamos usar é:
Aqui, é o campo de força avaliado ao longo da curva , e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos primeiro calcular r'(t) = ( ddt cos t, ddt sin t ) = (-sin t, cos t) . Dada a curva , derivando componente a componente:

Passo 4

Agora, vamos substituir F(r(t)) = F(cos t, sin t) = ( (cos t)^2, -cos t cdot sin t ) = (cos^2 t, -cos t sin t) no campo de força :

Passo 5

Com F(r(t)) cdot r'(t) = (cos^2 t) cdot (-sin t) + (-cos t sin t) cdot (cos t) = -cos^2 t sin t - cos^2 t sin t = -2 cos^2 t sin t e calculados, vamos fazer o produto escalar deles:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral para T = integral0^pi2 -2 cos^2 t sin t , dt :
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja , então , ou seja, .

Passo 7

Substituindo na integral:
T = -2 integral0^pi2 cos^2 t sin t , dt = -2 integral1^0 u^2 (-du) = -2 integral1^0 -u^2 du = 2 integral0^1 u^2 du

Passo 8

Agora, resolvemos a integral:
2 integral0^1 u^2 du = 2 [ u^33 ]0^1 = 2 ( 13 - 0 ) = 23
Mas lembre-se que tínhamos um sinal negativo no início, então:
T = -23

Resposta

A resposta correta é a opção (e) .

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