Escreva o divergente de um campo vetorial tridimensional em coordenadas cilíndricas e esféricas.

Passo 1

O enunciado pede pra escrever a expressão do divergente de um campo vetorial tridimensional em coordenadas cilíndricas e esféricas. O conteúdo é cálculo vetorial, mais especificamente o uso da fórmula da divergência em sistemas curvilíneos ortogonais. Vamos precisar saber os fatores de escala (ou fatores métricos) de cada coordenada e usar a fórmula geral da divergência em coordenadas ortogonais.

Passo 2

Para coordenadas cilíndricas (r,phi,z) temos os fatores de escala
hr = 1, hphi = r, hz = 1
A divergência em um sistema ortogonal (u1,u2,u3) com fatores (h1,h2,h3) é
div,A = 1h1h2h3(partialpartial u1(h2h3A1)+partialpartial u2(h3h1A2)+partialpartial u3(h1h2A3))
Substituindo u1=r, u2=phi, u3=z e A1=Fr, A2=Fphi, A3=Fz, surge
div,F = 1rpartialpartial r(rFr) + 1rpartial Fphipartialphi + partial Fzpartial z

Passo 3

Para coordenadas esféricas (rho,theta,phi) (com theta ângulo polar em relação ao eixo z) os fatores de escala são
hrho = 1, htheta = rho, hphi = rhosintheta
Usando a mesma fórmula geral da divergência e substituindo u1=rho, u2=theta, u3=phi e A1=Frho, A2=Ftheta, A3=Fphi, obtemos
div,F = 1rho^2sintheta(partialpartialrho(rho^2sintheta,Frho)+partialpartialtheta(rhosintheta,Ftheta)+partialpartialphi(rho,Fphi))
Reorganizando fica
div,F = 1rho^2partialpartialrho(rho^2 Frho) + 1rhosinthetapartialpartialtheta(sintheta,Ftheta) + 1rhosinthetapartial Fphipartialphi

Resposta

Em coordenadas cilíndricas:
$$\mathrm{div},\mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.
div,F = 1rpartialpartial r(rFr) + 1rpartial Fphipartialphi + partial Fzpartial z é\mathrm{div},\mathbf{F} = \frac{1}{\rho2}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho2 F_\rho) + \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta,F_\theta) + \frac{1}{\rho\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi}.
$$

Exercícios relacionados