Escreva o divergente de um campo vetorial tridimensional em coordenadas cilíndricas e esféricas.
Passo 1
O enunciado pede pra escrever a expressão do divergente de um campo vetorial tridimensional em coordenadas cilíndricas e esféricas. O conteúdo é cálculo vetorial, mais especificamente o uso da fórmula da divergência em sistemas curvilíneos ortogonais. Vamos precisar saber os fatores de escala (ou fatores métricos) de cada coordenada e usar a fórmula geral da divergência em coordenadas ortogonais.
Passo 2
Para coordenadas cilíndricas
temos os fatores de escala
A divergência em um sistema ortogonal
com fatores
é
Substituindo
e
, surge
Passo 3
Para coordenadas esféricas
(com
ângulo polar em relação ao eixo
) os fatores de escala são
Usando a mesma fórmula geral da divergência e substituindo
e
, obtemos
Reorganizando fica
Resposta
Em coordenadas cilíndricas:
$$\mathrm{div},\mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rF_r) + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\phi}{\partial\phi} + \frac{\partial F_z}{\partial z}.
$$