Escreva a equação do círculo dado na forma reduzida e determine o raio e as coordenadas do centro, se possível.
(c) 2 x^{2}+2 y^{2}-6 x-10 y+6=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
2x^{2} + 2y^{2} - 6x - 10y + 6 = 0
e pede a forma reduzida de um círculo, isto é, completar o quadrado em x e y para obter
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = r^{2},
além de identificar o centro (x_{0},y_{0}) e o raio r.

Passo 2

Primeiro dividimos a equação inteira por 2 para simplificar os coeficientes de x^{2} e y^{2}:
x^{2} - 3x + y^{2} - 5y + 3 = 0.
Agora agrupamos em x e em y:
\bigl(x^{2} - 3x\bigr) + \bigl(y^{2} - 5y\bigr) = -3.

Passo 3

Vamos completar o quadrado em cada grupo.
Para x^{2} - 3x acrescentamos e subtraímos \bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}:
x^{2} - 3x + \Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2} = \bigl(x - \tfrac{3}{2}\bigr)^{2} - \Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2}.
Para y^{2} - 5y acrescentamos e subtraímos \bigl(\tfrac{5}{2}\bigr)^{2}:
y^{2} - 5y + \Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2} = \bigl(y - \tfrac{5}{2}\bigr)^{2} - \Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2}.

Passo 4

Substituindo na equação e somando os termos constantes do lado direito:
\bigl(x - \tfrac{3}{2}\bigr)^{2} - \Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2} + \bigl(y - \tfrac{5}{2}\bigr)^{2} - \Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2} = -3.
Calculamos
-\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\tfrac{5}{2}\Bigr)^{2} = -\frac{9}{4} - \frac{25}{4} = -\frac{34}{4} = -\frac{17}{2},
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\bigl(x - \tfrac{3}{2}\bigr)^{2} + \bigl(y - \tfrac{5}{2}\bigr)^{2} = -3 + \frac{17}{2} = -\frac{6}{2} + \frac{17}{2} = \frac{11}{2}.

Resposta

A forma reduzida é
\bigl(x - \tfrac{3}{2}\bigr)^{2} + \bigl(y - \tfrac{5}{2}\bigr)^{2} = \frac{11}{2}.
O centro é \bigl(\tfrac{3}{2},\,\tfrac{5}{2}\bigr) e o raio é
r = \sqrt{\frac{11}{2}}.

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