Escreva a equação do círculo dado na forma reduzida e determine o raio e as coordenadas do centro, se possível.
(b) x^{2}+y^{2}-2 x+6 y-15=0

Passo 1

O enunciado dá a equação geral de um círculo
x^2 + y^2 - 2x + 6y - 15 = 0
e pede para escrevê-la na forma reduzida (padrão) e, a partir daí, determinar o centro e o raio. Para isso, usaremos o método de completar quadrados.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e isolamos a constante no outro lado:
x^2 - 2x + y^2 + 6y = 15.

Passo 3

Completamos o quadrado em cada grupo. Para x^2 - 2x acrescentamos 1 e para y^2 + 6y acrescentamos 9, fazendo o mesmo nos dois lados da equação:
x^2 - 2x + 1 \;+\; y^2 + 6y + 9 \;=\; 15 + 1 + 9.
Isso resulta em
(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25.

Passo 4

A equação na forma reduzida é
(x-1)^2 + (y+3)^2 = 25.
Dessa forma, o centro é C = (1,-3) e o raio é r = 5.

Resposta

(x-1)^2 + (y+3)^2 = 25
Centro: (1,-3)
Raio: 5

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