Escreva a equação do círculo dado na forma reduzida e determine o raio e as coordenadas do centro, se possível.
(d) 2 x^{2}+2 y^{2}+8 x-12 y-8=0

Passo 1

O enunciado dá a equação do círculo na forma geral
2x^{2}+2y^{2}+8x-12y-8=0
e pede que a coloquemos na forma reduzida
(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},
além de identificar o centro (h,k) e o raio r. Para isso, vamos dividir por 2 e completar quadrados.

Passo 2

Dividimos toda a equação por 2 para obter coeficientes 1 em x^{2} e y^{2}:
x^{2}+y^{2}+4x-6y-4=0.

Passo 3

Agrupamos x e y e completamos quadrados em cada grupo:
para x:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4,
para y:
y^{2}-6y = (y-3)^{2}-9.

Passo 4

Substituindo na equação e isolando os quadrados:
(x+2)^{2}-4 + (y-3)^{2}-9 -4 =0
(x+2)^{2} + (y-3)^{2} -17 =0
(x+2)^{2} + (y-3)^{2} =17.

Passo 5

Da forma (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} lemos diretamente:
o centro é (h,k)=(-2,3) e o raio é r=\sqrt{17}.

Resposta

A forma reduzida é
(x+2)^{2} + (y-3)^{2} = 17,
o centro é (-2,3) e o raio é \sqrt{17}.

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