O valor da integral integral-1^0 1raiz[3](x+1)^2 d x é:
(a) -2
(b) raiz25
© -infty
(d) 3
(e) 2 raiz3
f infty
g 1
(h) 12

Passo 1

Resumo do exercício: queremos calcular a integral imprópria integral-1^01raiz[3](x+1)^2,dx, que pode ser reescrita como integral-1^0(x+1)^-2/3,dx. O conteúdo envolvido é integração de potências e análise de convergência de integral imprópria.

Passo 2

Observação da singularidade: em x=-1 o integrando (x+1)^-2/3 diverge. Para testar a convergência, fazemos a mudança u=x+1, com uto0^+ e integrando integral0^1u^-2/3du. Como o expoente -2/3>-1, a integral converge.

Passo 3

Cálculo da antiderivada: usando a regra integral u^ndu=tfracu^n+1n+1+C, com n=-tfrac23 temos n+1=tfrac13. Logo,
integral(x+1)^-2/3dx=3,(x+1)^1/3+C

Passo 4

Avaliação nos limites de integração:
l[3(x+1)^1/3r]x=-1^x=0=3cdot1^1/3-3cdot0^1/3=3-0=3

Resposta

3

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