Escreva a equação da derivada direcional, na direção de um vetor genérico u. Escreva também em termos do gradiente.
Passo 1
O enunciado pede para escrever a definição de derivada direcional de uma função
na direção de um vetor genérico
e, em seguida, reescrever essa derivada usando o gradiente de
. O conteúdo envolve a definição de limite para derivada direcional e a interpretação geométrica via o vetor gradiente.
Passo 2
A derivada direcional de
em um ponto
na direção de um vetor unitário
é definida como
Aqui usamos o conceito de taxa de variação de
ao longo da reta que parte de
e vai na direção de
.
Passo 3
Para ligar essa definição ao gradiente, lembramos que o gradiente
é o vetor das derivadas parciais de
. O resultado fundamental é que a derivada direcional nessa mesma direção
pode ser escrita como o produto escalar entre
e
, ou seja,
Isso mostra que o gradiente aponta na direção de maior crescimento de
e que sua projeção em
dá a taxa de variação naquela direção.