Escreva a equação da derivada direcional, na direção de um vetor genérico u. Escreva também em termos do gradiente.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a definição de derivada direcional de uma função f:R^ntoR na direção de um vetor genérico u e, em seguida, reescrever essa derivada usando o gradiente de f. O conteúdo envolve a definição de limite para derivada direcional e a interpretação geométrica via o vetor gradiente.

Passo 2

A derivada direcional de f em um ponto xinR^n na direção de um vetor unitário u é definida como
Duf(x) =limhto 0f(x+h,u)-f(x)h
Aqui usamos o conceito de taxa de variação de f ao longo da reta que parte de x e vai na direção de u.

Passo 3

Para ligar essa definição ao gradiente, lembramos que o gradiente nabla f(x) é o vetor das derivadas parciais de f. O resultado fundamental é que a derivada direcional nessa mesma direção u pode ser escrita como o produto escalar entre nabla f(x) e u, ou seja,
Duf(x) =nabla f(x)cdotu
Isso mostra que o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e que sua projeção em u dá a taxa de variação naquela direção.

Resposta

Duf(x) =limhto 0f(x+h,u)-f(x)h,
Duf(x) =nabla f(x)cdotu

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