Seja A a área do paralelogramo cujos vértices são (0,0,0) (17,2,10) (0,-4,20) (17,-2,30) Determine A^2.
square

Passo 1

O enunciado pede a área do paralelogramo em R^3 com vértices em (0,0,0), (17,2,10), (0,-4,20) e (17,-2,30).
Para resolver, vamos usar que a área de um paralelogramo gerado por dois vetores u e v é |utimesv|, e que, portanto,
área^2 ;=;|u|^2,|v|^2 ;-;(ucdot v)^2 á

Passo 2

Escolhemos como lados adjacentes do paralelogramo os vetores que partem de (0,0,0) até (17,2,10) e até (0,-4,20). Assim,
u = (17,2,10), v = (0,-4,20)

Passo 3

Calculamos o produto interno e as normas ao quadrado:
ucdot v = 17cdot0 + 2cdot(-4) + 10cdot20 = -8 + 200 = 192,
|u|^2 = 17^2 + 2^2 + 10^2 = 289 + 4 + 100 = 393,
|v|^2 = 0^2 + (-4)^2 + 20^2 = 0 + 16 + 400 = 416

Passo 4

Usando a fórmula da área ao quadrado,
área^2 = |u|^2,|v|^2 - (ucdot v)^2 = 393cdot416 - 192^2 = 163488 - 36864 = 126624 á

Resposta

126624

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