Seja P o paralelogramo de vértices
(0,0,0) (-2,1,2) (0,-1,-1) (-2,0,1)
e seja d S o elemento de área de P (uma 2-forma diferenciável). Calcule
integralP(7 x+2 y+2 z) d S
square

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de superfície da função escalar
f(x,y,z)=7x+2y+2z
sobre o paralelogramo P de vértices
(0,0,0), (-2,1,2), (0,-1,-1) e (-2,0,1).
O conteúdo é integral de superfície de função escalar em R^3. Vamos parametrizar P por vetores geradores e usar a fórmula
integral duplaP f,dS =integral duplaD fl(r(u,v)r),l|partialu rtimespartialv rr|,du,dv

Passo 2

Escolhemos como ponto-base o vértice (0,0,0) e como vetores geradores
a=(-2,1,2), b=(0,-1,-1)
Definimos a parametrização
r(u,v)=u, a+v, b, (u,v)in[0,1]times[0,1]

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
partialu rtimespartialv r = atimes b = i & j & k -2 & 1 & 2 0 & -1 & -1 =(1,-2,2)
Logo
l| atimes br| =raiz1^2+(-2)^2+2^2 =raiz9 =3

Passo 4

Expressamos f em termos de u,v. De
r(u,v)=(-2u,;u-v,;2u-v)
temos
fl(r(u,v)r) =7(-2u)+2(u-v)+2(2u-v) =-14u+2u-2v+4u-2v =-8u-4v

Passo 5

O integral torna-se
integral duplaP f,dS = integral0^1!!integral0^1(-8u-4v);(3);du,dv =3integral0^1!!integral0^1(-8u-4v),du,dv
Calculando em u e depois em v:
integral0^1(-8u-4v),du =l[-4u^2-4v,ur]0^1 =-4-4v,
integral0^1(-4-4v),dv =l[-4v-2v^2r]0^1 =-4-2=-6
Multiplicando por 3 3cdot(-6)=-18.

Resposta

-18

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