1. Determine os pontos críticos de f(x, y)=-x^2-2 y^2+2 x-3 y, e descubra se não máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de f(x,y) = -x^2 - 2y^2 + 2x - 3y e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar onde o gradiente é zero e depois aplicar o teste da Hessiana para a classificação.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial fpartial x = -2x + 2,
partial fpartial y = -4y - 3
Impondo nabla f=0, vem
-2x + 2 = 0 implies x = 1,
-4y - 3 = 0 implies y = -34
Assim o único ponto crítico é l(1,-tfrac34r).

Passo 3

Agora montamos a matriz Hessiana de segunda derivadas:
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial x partial y partial^2 fpartial y partial x & partial^2 fpartial y^2 = -2 & 0 0 & -4

Passo 4

Para classificar o ponto, calculamos
det H = (-2)cdot(-4) - 0 = 8 > 0
Como partial^2 fpartial x^2 = -2 < 0 e det H>0, a Hessiana é definida negativa, indicando que l(1,-tfrac34r) é um ponto de máximo local.

Resposta

O único ponto crítico é l(1,-tfrac34r), que é um máximo local.

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