Determine os pontos críticos de , e descubra se não máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de e classificá-los como máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para achar onde o gradiente é zero e depois aplicar o teste da Hessiana para a classificação.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Impondo , vem
Assim o único ponto crítico é .
Passo 3
Agora montamos a matriz Hessiana de segunda derivadas:
Passo 4
Para classificar o ponto, calculamos
det H = (-2)cdot(-4) - 0 = 8 > 0
Como partial^2 fpartial x^2 = -2 < 0 e det H>0, a Hessiana é definida negativa, indicando que l(1,-tfrac34r) é um ponto de máximo local.
Resposta
O único ponto crítico é l(1,-tfrac34r), que é um máximo local.