(a) Escreva a equação diferencial que expresse a lei de crescimento natural. O que ela diz em termos da taxa de crescimento relativo?
(b) Sob quais circunstâncias este é um modelo apropriado para o crescimento populacional?
(c) Quais são as soluções dessa equação?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o crescimento natural de uma população N(t): (a) escrever a equação diferencial que descreve essa lei e interpretá-la em termos de taxa de crescimento relativo, (b) discutir quando esse modelo é apropriado e (c) encontrar as soluções gerais dessa equação. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais de primeira ordem e separação de variáveis.

Passo 2

A lei de crescimento natural afirma que a taxa de variação da população é proporcional ao tamanho da própria população. Em termos matemáticos:
\frac{dN}{dt} = k\,N,
onde k é a taxa de crescimento constante. Em termos de taxa de crescimento relativo, dividindo ambos os lados por N (assumindo N\neq0) obtemos
\frac{1}{N}\,\frac{dN}{dt} = k,
isto é, a variação percentual de N por unidade de tempo é constante e igual a k.

Passo 3

Esse modelo é adequado quando a população cresce sem limitação de recursos, sem competição intraespecífica ou fatores externos que restrinjam seu crescimento. Em geral vale para fases iniciais de crescimento, populações pequenas em ambiente abundante, ou para organismos microbianos em meio rico, onde o recurso é praticamente ilimitado no intervalo de tempo considerado.

Passo 4

Para resolver
\frac{dN}{dt} = k\,N
fazemos separação de variáveis:
\frac{dN}{N} = k\,dt.
Integrando ambos os lados:
\int \frac{dN}{N} = \int k\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln|N| = k\,t + C.
Exponenciando,
N(t) = C' e^{k\,t},
onde C' = e^{C} é constante de integração. Assim, as soluções gerais são \,N(t)=0 (solução trivial) e \,N(t)=C'e^{k\,t} (não trivial).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dN}{dt} = k\,N, o que implica \frac1N\frac{dN}{dt}=k, ou seja, a taxa de crescimento relativa é constante e igual a k.
(b) Quando não há limitações de recursos nem competição e o ambiente é ideal (ex.: fases iniciais de crescimento, populações pequenas em meio abundante).
(c) N(t)=0 e N(t)=C'e^{k\,t}, onde C' é a constante de integração (ou, para condição inicial N(0)=N_0, N(t)=N_0e^{k\,t}).

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