(a) Escreva a equação logística.
(b) Sob quais circunstâncias este é um modelo apropriado para o crescimento populacional?

Passo 1

O enunciado pede (a) escrever a equação logística e (b) discutir em que situações esse modelo é apropriado para descrever o crescimento populacional. O conteúdo envolve conceitos de modelos de crescimento densidade‐dependente em ecologia matemática e equações diferenciais ordinárias.

Passo 2

A forma contínua mais comum da equação logística é dada por
\frac{dP}{dt} = r\,P\Bigl(1 - \frac{P}{K}\Bigr)
em que
\displaystyle P(t) é o tamanho da população no tempo t,
r>0 é a taxa intrínseca de crescimento (taxa de natalidade menos taxa de mortalidade) quando P é muito pequena,
K>0 é a capacidade de suporte ambiental (carrying capacity), ou seja, o tamanho máximo que o ambiente sustenta.

Passo 3

Explicando os termos e o comportamento do modelo:
– Para P\ll K, o fator \bigl(1 - P/K\bigr)\approx1 e a população cresce quase exponencialmente com taxa r.
– Conforme P se aproxima de K, o termo \bigl(1 - P/K\bigr) tende a zero, reduzindo o crescimento até a estabilização em P=K.
– Se P>K, esse termo fica negativo, levando à queda da população de volta para valores próximos de K.

Passo 4

Este modelo é apropriado quando se satisfazem pelo menos estas condições:
  1. Recursos limitados: há competição intraespecífica que faz a taxa de crescimento diminuir com o aumento de P.
  2. População fechada: desigualdades por imigração ou emigração são desprezíveis.
  3. Ambiente constante: r e K são aproximadamente fixos no período considerado.
  4. Ausência de estrutura etária ou espacial: indivíduos são homogêneos e distribuídos uniformemente, de modo que só a densidade total importa.

Resposta

(a)
\frac{dP}{dt} = r\,P\Bigl(1 - \frac{P}{K}\Bigr).
(b) Esse modelo vale quando o crescimento inicial é exponencial mas esbarra em recursos limitados, ocorrendo regulação densidade‐dependente numa população fechada e homogênea num ambiente praticamente constante.

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