Escreva a equação da elipse na forma reduzida e determine as interseções com os eixos coordenados.
(d) 25 x^{2}+4 y^{2}=100

Passo 1

O enunciado dá a equação da elipse
25x^{2} + 4y^{2} = 100
e pede (i) a forma reduzida e (ii) as interseções com os eixos coordenados. Vamos usar o fato de que, para escrever uma cônica na forma reduzida, precisamos ter 1 no lado direito; então dividimos toda a equação pela constante do lado direito.

Passo 2

Dividindo ambos os lados de
25x^{2} + 4y^{2} = 100
por 100, obtemos
\frac{25x^{2}}{100} + \frac{4y^{2}}{100} = 1
que simplifica para
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1.

Passo 3

Para achar as interseções com o eixo x, colocamos y=0 em
\frac{x^{2}}{4} + \frac{0^{2}}{25} = 1
o que dá \frac{x^{2}}{4}=1, isto é, x^{2}=4 e portanto
x = \pm 2.
Logo, as interseções com o eixo x são (2,0) e (-2,0).

Passo 4

Para achar as interseções com o eixo y, colocamos x=0 em
\frac{0^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1
o que dá \frac{y^{2}}{25}=1, isto é, y^{2}=25 e portanto
y = \pm 5.
Logo, as interseções com o eixo y são (0,5) e (0,-5).

Resposta

A forma reduzida é
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{25} = 1.
As interseções com os eixos coordenados são (2,0), (-2,0), (0,5) e (0,-5).

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