Escreva a equação da elipse na forma reduzida e determine as interseções com os eixos coordenados.
(e) 4 x^{2}+16 y^{2}=4

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
4x^{2}+16y^{2}=4
e pede (1) a forma reduzida \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 e (2) as interseções com os eixos coordenados. Vamos dividir ambos os lados por 4 para obter a forma padrão.

Passo 2

Dividindo a equação por 4 vem
\frac{4x^{2}}{4} + \frac{16y^{2}}{4} = \frac{4}{4}
ou seja
x^{2} + 4y^{2} = 1.
Para colocar em \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, note que
x^{2} = \frac{x^{2}}{1}, \quad 4y^{2} = \frac{y^{2}}{\tfrac{1}{4}}.

Passo 3

Da comparação com \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 obtemos
a^{2} = 1 \implies a = 1, \qquad b^{2} = \tfrac{1}{4} \implies b = \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Para as interseções com o eixo x, fazemos y=0. A equação original vira
4x^{2} = 4 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1.
Logo, os pontos são (-1,0) e (1,0).

Passo 5

Para as interseções com o eixo y, fazemos x=0. A equação vira
16y^{2} = 4 \implies y^{2} = \tfrac{1}{4} \implies y = \pm \tfrac{1}{2}.
Logo, os pontos são (0,-\tfrac{1}{2}) e (0,\tfrac{1}{2}).

Resposta

A forma reduzida da elipse é
\frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{\tfrac{1}{4}} = 1
ou seja \,x^{2}+4y^{2}=1.
As interseções são
(-1,0),\;(1,0) \quad\text{e}\quad (0,-\tfrac{1}{2}),\;(0,\tfrac{1}{2})\,.

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