Escreva a equação da elipse na forma reduzida e determine as interseções com os eixos coordenados.
(f) 8 x^{2}+4 y^{2}=32

Passo 1

O enunciado nos dá a curva
8x^{2} + 4y^{2} = 32
e pede:
  1. reescrever essa equação na forma reduzida de uma elipse, ou seja
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,
e 2) determinar os pontos de interseção com os eixos x e y.

Passo 2

Para passar à forma reduzida, dividimos toda a equação por 32:
\frac{8x^{2}}{32} + \frac{4y^{2}}{32} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8} = 1.

Passo 3

Comparando com
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1,
vemos que
a^{2} = 4,\quad b^{2} = 8,
logo
a = 2,\quad b = 2\sqrt{2}.

Passo 4

Interseções com o eixo x: fazemos y = 0 na forma original ou reduzida. Em particular, em
\frac{x^{2}}{4} + \frac{0}{8} = 1
vem
\frac{x^{2}}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2.
Portanto os pontos são (2,0) e (-2,0).

Passo 5

Interseções com o eixo y: fazemos x = 0. Em
\frac{0}{4} + \frac{y^{2}}{8} = 1
obtém-se
\frac{y^{2}}{8} = 1 \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = 8 \quad\Longrightarrow\quad y = \pm 2\sqrt{2}.
Assim os pontos são (0,2\sqrt{2}) e (0,-2\sqrt{2}).

Resposta

A equação da elipse na forma reduzida é
\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{8} = 1.
As interseções com os eixos coordenados são
(2,0),\;(-2,0),\;(0,2\sqrt{2}),\;(0,-2\sqrt{2}).

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