Escreva a equação \frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} \varphi}{\partial x_{2}^{2}}=\varphi em coordenadas elípticas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos a equação
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{2}^{2}}=\varphi
em coordenadas elípticas cilíndricas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação diferencial parcial original é a soma das derivadas segundas em \,x_{1}\, e \,x_{2}\, igual a \varphi.
  • Precisamos fazer a mudança para coordenadas elípticas (duas variáveis espaciais; assumimos dependência só em \,x_{1},x_{2}\,, sem variação em x_{3}).
  • Não foi dado o parâmetro focal; adotaremos um parâmetro positivo a>0 que define as coordenadas elípticas padrão.

Passo 2

Definição das coordenadas elípticas (confocais) que vamos usar — explico o que cada coisa significa:
  • As coordenadas elípticas bidimensionais \,(\mu,\nu)\, são definidas por (a constante a>0 é a semi-distância focal):
x_{1} = a\operatorname{cosh}\mu\cos\nu,\qquad x_{2} = a\operatorname{sinh}\mu\sin\nu,
onde \mu\ge 0 e \nu\in[0,2\pi).
  • Intuição: curvas de \mu= constante são elipses confocais; curvas de \nu= constante são hipérbolas confocais. O parâmetro a controla a separação dos focos.

Passo 3

Vamos calcular os fatores de escala (também chamados de elementos métricos) — isso é essencial porque a forma da Laplaciana depende deles.
  • Primeiro calculamos as derivadas parciais do vetor posição \mathbf{r}=(x_{1},x_{2}) em relação a \mu e \nu.
\frac{\partial x_{1}}{\partial \mu}=a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu,\qquad \frac{\partial x_{2}}{\partial \mu}=a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu.
\frac{\partial x_{1}}{\partial \nu}=-a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu,\qquad \frac{\partial x_{2}}{\partial \nu}=a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu.
  • O fator de escala h_{\mu} é o módulo do vetor \partial \mathbf{r}/\partial\mu:
h_{\mu}^{2}=(a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu)^{2}+(a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu)^{2}.
Faço a álgebra passo a passo:
h_{\mu}^{2}=a^{2}\big(\operatorname{sinh}^{2}\mu\cos^{2}\nu+\operatorname{cosh}^{2}\mu\sin^{2}\nu\big).
Agora organizo os termos usando \operatorname{cosh}^{2}\mu-\operatorname{sinh}^{2}\mu=1:
h_{\mu}^{2}=a^{2}\big(\operatorname{sinh}^{2}\mu(\cos^{2}\nu+\sin^{2}\nu)+(\operatorname{cosh}^{2}\mu-\operatorname{sinh}^{2}\mu)\sin^{2}\nu\big).
h_{\mu}^{2}=a^{2}\big(\operatorname{sinh}^{2}\mu+\sin^{2}\nu\big).
  • De maneira análoga, o fator de escala h_{\nu} é o módulo de \partial\mathbf{r}/\partial\nu. Calculando:
h_{\nu}^{2}=(-a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu)^{2}+(a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu)^{2} =a^{2}\big(\operatorname{cosh}^{2}\mu\sin^{2}\nu+\operatorname{sinh}^{2}\mu\cos^{2}\nu\big),
que, com a mesma manipulação, também reduz para
h_{\nu}^{2}=a^{2}\big(\operatorname{sinh}^{2}\mu+\sin^{2}\nu\big).
  • Conclusão prática e útil para a prova: os dois fatores de escala são iguais:
h_{\mu}=h_{\nu}=h(\mu,\nu)=a\sqrt{\operatorname{sinh}^{2}\mu+\sin^{2}\nu}.
Explicação rápida: isso significa que o sistema é ortogonal e “isotrópico” localmente (os fatores iguais simplificam a Laplaciana).

Passo 4

Agora preciso da expressão da Laplaciana em coordenadas curvilíneas ortogonais. Vou explicar a fórmula e por que ela simplifica:
  • Fórmula geral (3D ortogonal): se os fatores de escala são \,h_{1},h_{2},h_{3}\, para coordenadas (q_{1},q_{2},q_{3}), então
\nabla^{2}\varphi=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\sum_{i=1}^{3}\frac{\partial}{\partial q_{i}}\!\left(\frac{h_{1}h_{2}h_{3}}{h_{i}^{2}}\frac{\partial\varphi}{\partial q_{i}}\right).
  • No nosso caso só temos duas variáveis espaciais \mu,\nu (assumimos independência em x_{3}), e podemos pensar em h_{3}=1. Como temos h_{\mu}=h_{\nu}=h, a fórmula para a Laplaciana em 2D ortogonal com fatores iguais simplifica muito:
\nabla^{2}\varphi=\frac{1}{h^{2}}\left(\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \mu^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \nu^{2}}\right).
  • Intuição curta: quando os dois fatores de escala são iguais, a parte complicada do determinante métrico cancela e a Laplaciana fica como uma versão “pesada” das derivadas \mu e \nu, com um prefator 1/h^{2}.

Passo 5

Substituo o h(\mu,\nu) que eu calculei no passo anterior na fórmula simplificada da Laplaciana:
  • Primeiro escrevo a Laplaciana em coordenadas elípticas:
\nabla^{2}\varphi=\frac{1}{a^{2}\big(\operatorname{sinh}^{2}\mu+\sin^{2}\nu\big)}\left(\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \mu^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \nu^{2}}\right).
  • A equação dada é \nabla^{2}\varphi=\varphi. Substituindo a expressão da Laplaciana:
\frac{1}{a^{2}\big(\operatorname{sinh}^{2}\mu+\sin^{2}\nu\big)}\left(\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \mu^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \nu^{2}}\right)=\varphi.

Passo 6

Multiplico ambos os lados por a^{2}\big(\operatorname{sinh}^{2}\mu+\sin^{2}\nu\big) para obter uma forma mais direta da equação diferencial em coordenadas (\mu,\nu):
\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \mu^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \nu^{2}}=a^{2}\big(\operatorname{sinh}^{2}\mu+\sin^{2}\nu\big)\,\varphi.
Essa é a equação solicitada escrita inteiramente em coordenadas elípticas cilíndricas com o parâmetro focal a.

Resposta

\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \mu^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial \nu^{2}}=a^{2}\big(\operatorname{sinh}^{2}\mu+\sin^{2}\nu\big)\,\varphi

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