Escreva a equação
em coordenadas elípticas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado pede que escrevamos a equação
em coordenadas elípticas cilíndricas. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação diferencial parcial original é a soma das derivadas segundas em
e igual a . - Precisamos fazer a mudança para coordenadas elípticas (duas variáveis espaciais; assumimos dependência só em
, sem variação em ). - Não foi dado o parâmetro focal; adotaremos um parâmetro positivo
que define as coordenadas elípticas padrão.
Passo 2
Definição das coordenadas elípticas (confocais) que vamos usar — explico o que cada coisa significa:
- As coordenadas elípticas bidimensionais
são definidas por (a constante é a semi-distância focal):
onde
e
.
- Intuição: curvas de
constante são elipses confocais; curvas de constante são hipérbolas confocais. O parâmetro controla a separação dos focos.
Passo 3
Vamos calcular os fatores de escala (também chamados de elementos métricos) — isso é essencial porque a forma da Laplaciana depende deles.
- Primeiro calculamos as derivadas parciais do vetor posição
em relação a e .
- O fator de escala
é o módulo do vetor :
Faço a álgebra passo a passo:
Agora organizo os termos usando
:
- De maneira análoga, o fator de escala
é o módulo de . Calculando:
que, com a mesma manipulação, também reduz para
- Conclusão prática e útil para a prova: os dois fatores de escala são iguais:
Explicação rápida: isso significa que o sistema é ortogonal e “isotrópico” localmente (os fatores iguais simplificam a Laplaciana).
Passo 4
Agora preciso da expressão da Laplaciana em coordenadas curvilíneas ortogonais. Vou explicar a fórmula e por que ela simplifica:
- Fórmula geral (3D ortogonal): se os fatores de escala são
para coordenadas , então
- No nosso caso só temos duas variáveis espaciais
(assumimos independência em ), e podemos pensar em . Como temos , a fórmula para a Laplaciana em 2D ortogonal com fatores iguais simplifica muito:
- Intuição curta: quando os dois fatores de escala são iguais, a parte complicada do determinante métrico cancela e a Laplaciana fica como uma versão “pesada” das derivadas
e , com um prefator .
Passo 5
Substituo o
que eu calculei no passo anterior na fórmula simplificada da Laplaciana:
- Primeiro escrevo a Laplaciana em coordenadas elípticas:
- A equação dada é
. Substituindo a expressão da Laplaciana:
Passo 6
Multiplico ambos os lados por
para obter uma forma mais direta da equação diferencial em coordenadas
:
Essa é a equação solicitada escrita inteiramente em coordenadas elípticas cilíndricas com o parâmetro focal
.