Expresse a equação de Maxwell
\vec{\nabla} \times \vec{E}=-\frac{1}{c} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}
em coordenadas esferoidais oblatas.

Passo 1

O enunciado pede para escrever a equação de Maxwell
\vec{\nabla}\times\vec{E} = -\frac{1}{c}\frac{\partial\vec{H}}{\partial t}
em coordenadas esferoidais oblatas. Ou seja, quero a expressão do rotacional de \vec{E} nas componentes naturais das coordenadas esferoidais oblatas (com parâmetro focal a), e igualá‑lo a -\tfrac{1}{c}\,\partial\vec{H}/\partial t. As informações que uso são que as coordenadas esferoidais oblatas são um sistema ortogonal (\xi,\eta,\varphi) com \xi\ge 0, \eta\in[-1,1], \varphi\in[0,2\pi), e que posso usar a fórmula do rotacional em coordenadas ortogonais com fatores de escala h_\xi,h_\eta,h_\varphi.

Passo 2

Defino as coordenadas esferoidais oblatas (convenção padrão) através da transformação para coordenadas cartesianas (x,y,z). O parâmetro focal é a>0. A transformação é
x = a\sqrt{1+\xi^{2}}\sqrt{1-\eta^{2}}\cos\varphi,
y = a\sqrt{1+\xi^{2}}\sqrt{1-\eta^{2}}\sin\varphi,
z = a\,\xi\,\eta.
Aqui \xi mede a “distância” oblate, \eta é um cosseno angular tipo polar e \varphi é o ângulo azimutal. Vou usar vetores unitários locais \hat{e}_\xi,\hat{e}_\eta,\hat{e}_\varphi e representar
\vec{E} = E_\xi\,\hat{e}_\xi + E_\eta\,\hat{e}_\eta + E_\varphi\,\hat{e}_\varphi,
\vec{H} = H_\xi\,\hat{e}_\xi + H_\eta\,\hat{e}_\eta + H_\varphi\,\hat{e}_\varphi,
onde E_\xi,E_\eta,E_\varphi e H_\xi,H_\eta,H_\varphi são as componentes físicas (projeções sobre os vetores unitários locais).

Passo 3

Explico o que são fatores de escala e dou as fórmulas. Em um sistema de coordenadas ortogonais (u_1,u_2,u_3) os fatores de escala h_i são
h_i = \left\| \frac{\partial\vec{r}}{\partial u_i} \right\|,
ou seja, o comprimento do vetor tangente associado à variação de cada coordenada. Para esferoidais oblatas (com a transformação dada) os fatores de escala são (pode-se calcular pela derivada das expressões de x,y,z em relação a \xi,\eta,\varphi; aqui apresento o resultado padrão):
h_\xi = a\sqrt{\frac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1+\xi^{2}}},
h_\eta = a\sqrt{\frac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1-\eta^{2}}},
h_\varphi = a\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}.
Breve comentário didático: cada h_i diz o quanto um pequeno aumento em u_i “estica” o vetor posição. Por exemplo, h_\varphi cresce com \sqrt{1+\xi^{2}} porque para \xi grande as circunferências azimutais têm raio maior.

Passo 4

Escrevo a fórmula do rotacional em coordenadas ortogonais. Para um sistema ortogonal com fatores h_1,h_2,h_3 e componentes E_1,E_2,E_3 ao longo de \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3, as componentes do rotacional são (ciclo (1,2,3)\to(\xi,\eta,\varphi))
(\nabla\times\vec{E})_1 = \frac{1}{h_2 h_3}\left[\frac{\partial}{\partial u_2}\big(h_3 E_3\big) - \frac{\partial}{\partial u_3}\big(h_2 E_2\big)\right],
(\nabla\times\vec{E})_2 = \frac{1}{h_3 h_1}\left[\frac{\partial}{\partial u_3}\big(h_1 E_1\big) - \frac{\partial}{\partial u_1}\big(h_3 E_3\big)\right],
(\nabla\times\vec{E})_3 = \frac{1}{h_1 h_2}\left[\frac{\partial}{\partial u_1}\big(h_2 E_2\big) - \frac{\partial}{\partial u_2}\big(h_1 E_1\big)\right].
Aqui cada derivada é parcial mantendo as outras coordenadas fixas. Esta fórmula é obtida substituindo a base ortonormal e a métrica diagonal na definição do rotacional em coordenadas curvilíneas.

Passo 5

Substituo u_1=\xi, u_2=\eta, u_3=\varphi e os fatores de escala h_\xi,h_\eta,h_\varphi das esferoidais oblatas na fórmula do rotacional. Para cada componente, simplifico o fator a comum quando possível (explico o cancelamento: cada termo dentro das derivadas contém um fator h que é proporcional a a; ao dividir por produtos h_i h_j com a^2, sobra um fator 1/a multiplicando as derivadas de quantidades sem o a). O resultado é:
(\nabla\times\vec{E})_\xi = \frac{1}{a\sqrt{(1+\xi^{2})(\xi^{2}+\eta^{2})}} \left[ \frac{\partial}{\partial \eta}\!\Big(\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}\;E_\varphi\Big) - \frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1-\eta^{2}}}\;E_\eta\Big) \right],
(\nabla\times\vec{E})_\eta = \frac{1}{a\sqrt{(1-\eta^{2})(\xi^{2}+\eta^{2})}} \left[ \frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1+\xi^{2}}}\;E_\xi\Big) - \frac{\partial}{\partial \xi}\!\Big(\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}\;E_\varphi\Big) \right],
(\nabla\times\vec{E})_\varphi = \frac{\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}}{a(\xi^{2}+\eta^{2})} \left[ \frac{\partial}{\partial \xi}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1-\eta^{2}}}\;E_\eta\Big) - \frac{\partial}{\partial \eta}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1+\xi^{2}}}\;E_\xi\Big) \right].
Comentário prático: cada termo tem a forma “1/(produto de duas h) vezes (derivada de h vezes componente)”, que é a essência da fórmula do rotacional em coordenadas ortogonais.

Passo 6

Agora escrevo a equação de Maxwell componente a componente, igualando cada componente do rotacional à componente correspondente de -\tfrac{1}{c}\,\partial\vec{H}/\partial t. Isso fornece as três equações (uma para cada direção local):
\frac{1}{a\sqrt{(1+\xi^{2})(\xi^{2}+\eta^{2})}} \left[ \frac{\partial}{\partial \eta}\!\Big(\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}\;E_\varphi\Big) - \frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1-\eta^{2}}}\;E_\eta\Big) \right] = -\frac{1}{c}\frac{\partial H_\xi}{\partial t},
\frac{1}{a\sqrt{(1-\eta^{2})(\xi^{2}+\eta^{2})}} \left[ \frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1+\xi^{2}}}\;E_\xi\Big) - \frac{\partial}{\partial \xi}\!\Big(\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}\;E_\varphi\Big) \right] = -\frac{1}{c}\frac{\partial H_\eta}{\partial t},
\frac{\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}}{a(\xi^{2}+\eta^{2})} \left[ \frac{\partial}{\partial \xi}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1-\eta^{2}}}\;E_\eta\Big) - \frac{\partial}{\partial \eta}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1+\xi^{2}}}\;E_\xi\Big) \right] = -\frac{1}{c}\frac{\partial H_\varphi}{\partial t}.
Estas três equações equivalem exatamente à forma vetorial pedida, apenas escritas nas componentes locais \xi,\eta,\varphi.

Resposta

\frac{1}{a\sqrt{(1+\xi^{2})(\xi^{2}+\eta^{2})}} \left[ \frac{\partial}{\partial \eta}\!\Big(\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}\;E_\varphi\Big) - \frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1-\eta^{2}}}\;E_\eta\Big) \right] = -\frac{1}{c}\frac{\partial H_\xi}{\partial t},
\frac{1}{a\sqrt{(1-\eta^{2})(\xi^{2}+\eta^{2})}} \left[ \frac{\partial}{\partial \varphi}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1+\xi^{2}}}\;E_\xi\Big) - \frac{\partial}{\partial \xi}\!\Big(\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}\;E_\varphi\Big) \right] = -\frac{1}{c}\frac{\partial H_\eta}{\partial t},
\frac{\sqrt{(1+\xi^{2})(1-\eta^{2})}}{a(\xi^{2}+\eta^{2})} \left[ \frac{\partial}{\partial \xi}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1-\eta^{2}}}\;E_\eta\Big) - \frac{\partial}{\partial \eta}\!\Big(\sqrt{\tfrac{\xi^{2}+\eta^{2}}{1+\xi^{2}}}\;E_\xi\Big) \right] = -\frac{1}{c}\frac{\partial H_\varphi}{\partial t}.

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