em coordenadas esferoidais oblatas. Ou seja, quero a expressão do rotacional de \vec{E} nas componentes naturais das coordenadas esferoidais oblatas (com parâmetro focal a), e igualá‑lo a -\tfrac{1}{c}\,\partial\vec{H}/\partial t. As informações que uso são que as coordenadas esferoidais oblatas são um sistema ortogonal (\xi,\eta,\varphi) com \xi\ge 0, \eta\in[-1,1], \varphi\in[0,2\pi), e que posso usar a fórmula do rotacional em coordenadas ortogonais com fatores de escala h_\xi,h_\eta,h_\varphi.
Passo 2
Defino as coordenadas esferoidais oblatas (convenção padrão) através da transformação para coordenadas cartesianas (x,y,z). O parâmetro focal é a>0. A transformação é
x = a\sqrt{1+\xi^{2}}\sqrt{1-\eta^{2}}\cos\varphi,
y = a\sqrt{1+\xi^{2}}\sqrt{1-\eta^{2}}\sin\varphi,
z = a\,\xi\,\eta.
Aqui \xi mede a “distância” oblate, \eta é um cosseno angular tipo polar e \varphi é o ângulo azimutal. Vou usar vetores unitários locais \hat{e}_\xi,\hat{e}_\eta,\hat{e}_\varphi e representar
ou seja, o comprimento do vetor tangente associado à variação de cada coordenada. Para esferoidais oblatas (com a transformação dada) os fatores de escala são (pode-se calcular pela derivada das expressões de x,y,z em relação a \xi,\eta,\varphi; aqui apresento o resultado padrão):
Breve comentário didático: cada h_i diz o quanto um pequeno aumento em u_i “estica” o vetor posição. Por exemplo, h_\varphi cresce com \sqrt{1+\xi^{2}} porque para \xi grande as circunferências azimutais têm raio maior.
Passo 4
Escrevo a fórmula do rotacional em coordenadas ortogonais. Para um sistema ortogonal com fatores h_1,h_2,h_3 e componentes E_1,E_2,E_3 ao longo de \hat{e}_1,\hat{e}_2,\hat{e}_3, as componentes do rotacional são (ciclo (1,2,3)\to(\xi,\eta,\varphi))
Aqui cada derivada é parcial mantendo as outras coordenadas fixas. Esta fórmula é obtida substituindo a base ortonormal e a métrica diagonal na definição do rotacional em coordenadas curvilíneas.
Passo 5
Substituo u_1=\xi, u_2=\eta, u_3=\varphi e os fatores de escala h_\xi,h_\eta,h_\varphi das esferoidais oblatas na fórmula do rotacional. Para cada componente, simplifico o fator a comum quando possível (explico o cancelamento: cada termo dentro das derivadas contém um fator h que é proporcional a a; ao dividir por produtos h_i h_j com a^2, sobra um fator 1/a multiplicando as derivadas de quantidades sem o a). O resultado é:
Comentário prático: cada termo tem a forma “1/(produto de duas h) vezes (derivada de h vezes componente)”, que é a essência da fórmula do rotacional em coordenadas ortogonais.
Passo 6
Agora escrevo a equação de Maxwell componente a componente, igualando cada componente do rotacional à componente correspondente de -\tfrac{1}{c}\,\partial\vec{H}/\partial t. Isso fornece as três equações (uma para cada direção local):