Calcule \iiint_{V} \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} d x_{1} d x_{2} d x_{3} onde V é o volume limitado por x_{3}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2} e x_{3}=8-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right).
(obs: utilize coordenadas cilíndricas)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{V} \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\; dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3},
onde V é o volume limitado pelas superfícies
x_{3}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}
e
x_{3}=8-\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right).
Informações relevantes listadas:
  • A integranda é \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}.
  • As duas superfícies são um paraboloide com abertura para cima ( x_{3}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) e um paraboloide com abertura para baixo ( x_{3}=8-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})).
  • O volume V é a região entre esses dois paraboloides (a parte onde o paraboloide superior corta o inferior).
  • O enunciado pede que se utilize coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Vamos trocar para coordenadas cilíndricas porque a integranda e as superfícies dependem apenas de x_{1}^{2}+x_{2}^{2}. Em coordenadas cilíndricas usamos as substituições
x_{1}=r\cos\theta,\qquad x_{2}=r\sin\theta,\qquad x_{3}=z,
onde r\ge 0, \theta\in[0,2\pi) e z\in\mathbb{R}. O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é
dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3}=r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicando: esse r extra vem do Jacobiano da transformação cartesianas \to cilíndricas; ele mede a “espessura” angular quando passamos de dx_{1}dx_{2} para r\,dr\,d\theta.

Passo 3

Transforme a integranda e as superfícies em cilíndricas:
  • A integranda \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} vira \sqrt{r^{2}}=r (pois r\ge0).
  • A superfície x_{3}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2} vira z=r^{2}.
  • A superfície x_{3}=8-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}) vira z=8-r^{2}.
Para encontrar o raio máximo r do domínio fazemos a interseção das duas superfícies:
r^{2}=8-r^{2}\quad\Rightarrow\quad 2r^{2}=8\quad\Rightarrow\quad r^{2}=4\quad\Rightarrow\quad r=2.
Portanto r varia de 0 a 2. Como a região é simétrica em torno do eixo x_{3}, \theta varia de 0 a 2\pi. Para cada r fixo, z varia entre o paraboloide inferior z=r^{2} e o superior z=8-r^{2}.

Passo 4

Agora escrevemos a integral em coordenadas cilíndricas. A integranda original é r e o diferencial é r\,dr\,d\theta\,dz, então o integrando combinado é r\cdot r = r^{2}. Assim
\iiint_{V} \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\; dx_{1}\,dx_{2}\,dx_{3} = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=r^{2}}^{8-r^{2}} r^{2}\; dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Integramos primeiro em z. Como r^{2} não depende de z, temos
\int_{z=r^{2}}^{8-r^{2}} r^{2}\; dz = r^{2}\bigl[(8-r^{2})-(r^{2})\bigr] = r^{2}(8-2r^{2}).
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} \bigl(8r^{2}-2r^{4}\bigr)\; dr\,d\theta.

Passo 6

Agora integramos em r. Calculamos a primitiva de cada termo:
\int \! 8r^{2}\,dr = 8\cdot\frac{r^{3}}{3}=\frac{8r^{3}}{3}, \qquad \int \! 2r^{4}\,dr = 2\cdot\frac{r^{5}}{5}=\frac{2r^{5}}{5}.
Avaliamoas de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\bigl(8r^{2}-2r^{4}\bigr)\,dr = \left[\frac{8r^{3}}{3}-\frac{2r^{5}}{5}\right]_{0}^{2} = \frac{8\cdot 2^{3}}{3}-\frac{2\cdot 2^{5}}{5}.
Calculemos os termos:
\frac{8\cdot 2^{3}}{3}=\frac{8\cdot 8}{3}=\frac{64}{3}, \qquad \frac{2\cdot 2^{5}}{5}=\frac{2\cdot 32}{5}=\frac{64}{5}.
Subtraindo:
\frac{64}{3}-\frac{64}{5} = \frac{64(5-3)}{15}=\frac{128}{15}.

Passo 7

Finalmente integramos em \theta no intervalo [0,2\pi]. Como o resultado anterior não depende de \theta, multiplicamos por 2\pi:
\int_{0}^{2\pi} \frac{128}{15}\; d\theta = \frac{128}{15}\cdot 2\pi = \frac{256\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{256\pi}{15}

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