Calcule
onde
é o volume limitado por
e
.
(obs: utilize coordenadas cilíndricas)
(obs: utilize coordenadas cilíndricas)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o volume limitado pelas superfícies
e
Informações relevantes listadas:
- A integranda é
. - As duas superfícies são um paraboloide com abertura para cima (
) e um paraboloide com abertura para baixo ( ). - O volume
é a região entre esses dois paraboloides (a parte onde o paraboloide superior corta o inferior). - O enunciado pede que se utilize coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Vamos trocar para coordenadas cilíndricas porque a integranda e as superfícies dependem apenas de
. Em coordenadas cilíndricas usamos as substituições
onde
,
e
. O diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é
Explicando: esse
extra vem do Jacobiano da transformação cartesianas
cilíndricas; ele mede a “espessura” angular quando passamos de
para
.
Passo 3
Transforme a integranda e as superfícies em cilíndricas:
- A integranda
vira (pois ). - A superfície
vira . - A superfície
vira .
Para encontrar o raio máximo
do domínio fazemos a interseção das duas superfícies:
Portanto
varia de
a
. Como a região é simétrica em torno do eixo
,
varia de
a
. Para cada
fixo,
varia entre o paraboloide inferior
e o superior
.
Passo 4
Agora escrevemos a integral em coordenadas cilíndricas. A integranda original é
e o diferencial é
, então o integrando combinado é
. Assim
Passo 5
Integramos primeiro em
. Como
não depende de
, temos
Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Agora integramos em
. Calculamos a primitiva de cada termo:
Avaliamoas de
a
:
Calculemos os termos:
Subtraindo:
Passo 7
Finalmente integramos em
no intervalo
. Como o resultado anterior não depende de
, multiplicamos por
: