Prove que os sistemas de coordenadas listados a seguir são ortogonais:
elíptico cilíndrico

Passo 1

O enunciado pede: provar que o sistema de coordenadas “elíptico cilíndrico” é ortogonal.
Informações dadas (definição do sistema): existe uma constante positiva a>0 e as coordenadas (\mu,\nu,z) estão ligadas às coordenadas cartesianas (x,y,z) por
x = a\operatorname{cosh}\mu\cos\nu,
y = a\operatorname{sinh}\mu\sin\nu,
z = z,
com \mu\ge 0 e \nu\in[0,2\pi).
O que precisamos mostrar: as superfícies coordenadas \mu=const, \nu=const e z=const se intersectam ortogonalmente — equivalente a mostrar que os vetores \partial\mathbf{r}/\partial\mu, \partial\mathbf{r}/\partial\nu e \partial\mathbf{r}/\partial z são mutuamente ortogonais (produto escalar nulo entre distintos).

Passo 2

Conceito necessário (explicado de modo simples): um sistema de coordenadas é ortogonal se, em cada ponto, as direções naturais associadas às coordenadas são perpendiculares entre si. Formalmente, se \mathbf{r}(\mu,\nu,z) é o vetor posição em função das coordenadas, definimos os vetores base
\mathbf{r}_\mu=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\mu},\qquad \mathbf{r}_\nu=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\nu},\qquad \mathbf{r}_z=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.
O sistema é ortogonal quando
\mathbf{r}_\mu\cdot\mathbf{r}_\nu=0,\qquad \mathbf{r}_\mu\cdot\mathbf{r}_z=0,\qquad \mathbf{r}_\nu\cdot\mathbf{r}_z=0
em todo ponto. Vou usar esse critério e calcular explicitamente os vetores e seus produtos escalares.

Passo 3

Escrevemos o vetor posição em coordenadas cartesianas (pegando as fórmulas do enunciado):
\mathbf{r}(\mu,\nu,z)=\bigl(a\operatorname{cosh}\mu\cos\nu,\;a\operatorname{sinh}\mu\sin\nu,\;z\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais (cada componente em TeX):
\mathbf{r}_\mu=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\mu}=\bigl(a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu,\;a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu,\;0\bigr),
\mathbf{r}_\nu=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\nu}=\bigl(-a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu,\;a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu,\;0\bigr),
\mathbf{r}_z=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=\bigl(0,\;0,\;1\bigr).

Passo 5

Agora calculamos os produtos escalares entre vetores distintos e mostramos que são zero.
Calculamos \mathbf{r}_\mu\cdot\mathbf{r}_\nu:
\mathbf{r}_\mu\cdot\mathbf{r}_\nu = \bigl(a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu\bigr)\bigl(-a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu\bigr) + \bigl(a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu\bigr)\bigl(a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu\bigr)+0.
Desenvolvendo os produtos:
\mathbf{r}_\mu\cdot\mathbf{r}_\nu = -a^2\operatorname{sinh}\mu\operatorname{cosh}\mu\cos\nu\sin\nu + a^2\operatorname{cosh}\mu\operatorname{sinh}\mu\sin\nu\cos\nu.
As duas parcelas são opostas, portanto somam zero:
\mathbf{r}_\mu\cdot\mathbf{r}_\nu = 0.
Calculamos \mathbf{r}_\mu\cdot\mathbf{r}_z e \mathbf{r}_\nu\cdot\mathbf{r}_z:
\mathbf{r}_\mu\cdot\mathbf{r}_z = \bigl(a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu\bigr)\cdot 0 + \bigl(a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu\bigr)\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0,
\mathbf{r}_\nu\cdot\mathbf{r}_z = \bigl(-a\operatorname{cosh}\mu\sin\nu\bigr)\cdot 0 + \bigl(a\operatorname{sinh}\mu\cos\nu\bigr)\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Portanto \mathbf{r}_\mu, \mathbf{r}_\nu e \mathbf{r}_z são mutuamente ortogonais.

Passo 6

Comentário pedagógico rápido sobre identidades usadas: usei apenas álgebra elementar e o fato de que os produtos nas componentes se cancelam; não foi preciso usar identidades hiperbólicas profundas, mas se aparecer for útil lembramos que \operatorname{cosh}^2\mu-\operatorname{sinh}^2\mu=1. Para completar a intuição, podemos também calcular os fatores de escala (opcional) — o comprimento de \mathbf{r}_\mu e \mathbf{r}_\nu é o mesmo:
|\mathbf{r}_\mu|^2 = a^2\bigl(\operatorname{sinh}^2\mu\cos^2\nu + \operatorname{cosh}^2\mu\sin^2\nu\bigr) = a^2\bigl(\operatorname{sinh}^2\mu + \sin^2\nu\bigr),
|\mathbf{r}_\nu|^2 = a^2\bigl(\operatorname{cosh}^2\mu\sin^2\nu + \operatorname{sinh}^2\mu\cos^2\nu\bigr) = a^2\bigl(\operatorname{sinh}^2\mu + \sin^2\nu\bigr),
|\mathbf{r}_z|=1.
Isso mostra, além da ortogonalidade, os fatores de escala (úteis para integrais e operadores diferenciais): h_\mu=h_\nu=a\sqrt{\operatorname{sinh}^2\mu+\sin^2\nu} e h_z=1.

Resposta

O sistema elíptico cilíndrico é ortogonal.

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