Prove que os sistemas de coordenadas listados a seguir são ortogonais:
elíptico cilíndrico
elíptico cilíndrico
Passo 1
O enunciado pede: provar que o sistema de coordenadas “elíptico cilíndrico” é ortogonal.
Informações dadas (definição do sistema): existe uma constante positiva e as coordenadas
estão ligadas às coordenadas cartesianas
por
Informações dadas (definição do sistema): existe uma constante positiva
com
e
.
O que precisamos mostrar: as superfícies coordenadas const,
const e
const se intersectam ortogonalmente — equivalente a mostrar que os vetores
,
e
são mutuamente ortogonais (produto escalar nulo entre distintos).
O que precisamos mostrar: as superfícies coordenadas
Passo 2
Conceito necessário (explicado de modo simples): um sistema de coordenadas é ortogonal se, em cada ponto, as direções naturais associadas às coordenadas são perpendiculares entre si. Formalmente, se
é o vetor posição em função das coordenadas, definimos os vetores base
O sistema é ortogonal quando
em todo ponto. Vou usar esse critério e calcular explicitamente os vetores e seus produtos escalares.
Passo 3
Escrevemos o vetor posição em coordenadas cartesianas (pegando as fórmulas do enunciado):
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais (cada componente em TeX):
Passo 5
Agora calculamos os produtos escalares entre vetores distintos e mostramos que são zero.
Calculamos
:
Desenvolvendo os produtos:
As duas parcelas são opostas, portanto somam zero:
Calculamos
e
:
Portanto
,
e
são mutuamente ortogonais.
Passo 6
Comentário pedagógico rápido sobre identidades usadas: usei apenas álgebra elementar e o fato de que os produtos nas componentes se cancelam; não foi preciso usar identidades hiperbólicas profundas, mas se aparecer for útil lembramos que
. Para completar a intuição, podemos também calcular os fatores de escala (opcional) — o comprimento de
e
é o mesmo:
Isso mostra, além da ortogonalidade, os fatores de escala (úteis para integrais e operadores diferenciais):
e
.
Resposta
O sistema elíptico cilíndrico é ortogonal.