Escreva a equação geral para mudança de variável em integrais duplas e triplas,

Passo 1

O enunciado pede a equação geral que permite alterar variáveis em integrais duplas e triplas. O conteúdo envolve transformar as variáveis de integração via um difeomorfismo
T\colon(u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v)) ou T\colon(u,v,w)\mapsto(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) e incorporar o fator de escala dado pelo Jacobiano dessa transformação.

Passo 2

Para integrais duplas, seja T\colon (u,v)\mapsto (x(u,v),y(u,v)) um mapeamento bijetivo e diferenciável de um domínio S\subset\mathbb{R}^2 em R\subset\mathbb{R}^2. Definimos o Jacobiano
J(u,v) = \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[1em] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
Então a integral de uma função f(x,y) sobre R se troca pela integral sobre S de f composta com T, multiplicada por \bigl|J(u,v)\bigr|:
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{S} f\bigl(x(u,v),\,y(u,v)\bigr)\,\bigl|J(u,v)\bigr|\;du\,dv.]

Passo 3

Para integrais triplas, seja T\colon(u,v,w)\mapsto (x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) bijetivo e diferenciável de um domínio U\subset\mathbb{R}^3 em V\subset\mathbb{R}^3. O Jacobiano agora é
J(u,v,w) = \det \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} & \dfrac{\partial x}{\partial w}\\[0.5em] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} & \dfrac{\partial y}{\partial w}\\[0.5em] \dfrac{\partial z}{\partial u} & \dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix}.
A integral de f(x,y,z) sobre V torna-se
\iiint_{V} f(x,y,z)\,dV = \iiint_{U} f\bigl(x(u,v,w),\,y(u,v,w),\,z(u,v,w)\bigr)\,\bigl|J(u,v,w)\bigr|\;du\,dv\,dw.]

Resposta

Equação geral para mudança de variável em integral dupla:
\iint_{R} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{S} f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,\bigl|\det\!\bigl[\partial(x,y)/\partial(u,v)\bigr]\bigr|\;du\,dv.
Equação geral para mudança de variável em integral tripla:
\iiint_{V} f(x,y,z)\,dV = \iiint_{U} f\bigl(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\bigr)\,\bigl|\det\!\bigl[\partial(x,y,z)/\partial(u,v,w)\bigr]\bigr|\;du\,dv\,dw.

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