Escreva o jacobiano genérico para transformações de 2 e três variáveis

Passo 1

O enunciado pede o jacobiano genérico para transformações de coordenadas em duas e três variáveis. Vamos lembrar que o jacobiano é o determinante da matriz cujas entradas são as derivadas parciais das novas variáveis em relação às originais, e que aparece quando fazemos mudança de variáveis em integrais múltiplas.

Passo 2

Para uma transformação de duas variáveis (u,v)\mapsto(x(u,v),y(u,v)), o jacobiano é definido por
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} \\\ \displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.
Esse determinante mede a taxa de variação da área quando passamos de (u,v) para (x,y).

Passo 3

Para uma transformação de três variáveis (u,v,w)\mapsto(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)), o jacobiano é
J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial w} \\\ \displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial w} \\\ \displaystyle \frac{\partial z}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial v} & \displaystyle \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}.
Esse determinante mede a taxa de variação de volume na mudança de variáveis de (u,v,w) para (x,y,z).

Resposta

Para duas variáveis:
J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}.
Para três variáveis:
J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}.

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