Deduza o jacobiano para as mudanças de variável de coordenadas retângulares para:
coordenadas polares

Passo 1

O enunciado pede achar o jacobiano da mudança de variáveis de (x,y) para (r,\theta). Isso exige calcular o determinante da matriz das derivadas parciais entre as duas coordenadas.

Passo 2

Na mudança polar, a gente tem as fórmulas
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.
Precisamos das derivadas parciais de x e y em relação a r e \theta.

Passo 3

Construímos a matriz jacobiana:
J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.

Passo 4

O determinante de J é
\det J = (\cos\theta)(r\cos\theta)\;-\;(-\,r\sin\theta)(\sin\theta) = r\bigl(\cos^2\theta+\sin^2\theta\bigr) = r.
Logo, o fator de escala na área é r.

Resposta

O jacobiano da transformação retangular para polares é r.

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