Quais as interpretações geométricas para integrais duplas e triplas caso a função integrada seja sempre positiva na região/sólido de integração?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a interpretação geométrica, no caso em que a função integrada é sempre positiva, de
\iint_{R}f(x,y)\,dA
e
\iiint_{D}f(x,y,z)\,dV.
O conteúdo envolvido é o de integrais múltiplas e suas aplicações geométricas (volume, massa, hipervolume etc.).

Passo 2

Para a integral dupla \displaystyle \iint_{R}f(x,y)\,dA, onde f(x,y)\ge0 em R\subset\mathbb{R}^2:
  • Geometricamente, ela representa o volume do sólido limitado por
    1. A superfície z=f(x,y) por cima,
    2. O plano z=0 por baixo,
    3. E a projeção R no plano xy.
  • Em aplicações físicas, se f(x,y) for densidade superficial (massa por área), essa integral dá a massa total de uma lâmina com base em R.

Passo 3

Para a integral tripla \displaystyle \iiint_{D}f(x,y,z)\,dV, onde f(x,y,z)\ge0 em D\subset\mathbb{R}^3:
  • Se f(x,y,z)=1, a integral retorna o volume geométrico de D.
  • Para f(x,y,z) genérica mas não-negativa, ela pode ser vista como
    1. A “altura” de um sólido em uma direção extra, gerando um hipervolume num espaço de dimensão 4,
    2. Ou, de forma mais comum em Física, como a massa total de um sólido D cuja densidade volumétrica varia segundo f.

Resposta

Integral dupla positiva: volume abaixo de z=f(x,y) sobre a região R (ou massa de uma lâmina de densidade f).
Integral tripla positiva: volume de D se f=1, ou massa de um sólido de densidade volumétrica f (ou hipervolume em \mathbb{R}^4).

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