Quais as interpretações geométricas para integrais duplas e triplas caso a função integrada seja sempre positiva na região/sólido de integração?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a interpretação geométrica, no caso em que a função integrada é sempre positiva, de
e
O conteúdo envolvido é o de integrais múltiplas e suas aplicações geométricas (volume, massa, hipervolume etc.).
Passo 2
Para a integral dupla
, onde
em
:
- Geometricamente, ela representa o volume do sólido limitado por
- A superfície
por cima, - O plano
por baixo, - E a projeção
no plano .
- A superfície
- Em aplicações físicas, se
for densidade superficial (massa por área), essa integral dá a massa total de uma lâmina com base em .
Passo 3
Para a integral tripla
, onde
em
:
- Se
, a integral retorna o volume geométrico de . - Para
genérica mas não-negativa, ela pode ser vista como - A “altura” de um sólido em uma direção extra, gerando um hipervolume num espaço de dimensão 4,
- Ou, de forma mais comum em Física, como a massa total de um sólido
cuja densidade volumétrica varia segundo .
Resposta
Integral dupla positiva: volume abaixo de
sobre a região
(ou massa de uma lâmina de densidade
).
Integral tripla positiva: volume de se
, ou massa de um sólido de densidade volumétrica
(ou hipervolume em
).
Integral tripla positiva: volume de