Questão 2 (1,5 pontos) Dados
e
, escreva
como combinação linear de
.
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para escrever um deles como combinação linear dos outros. Dados (peguei os vetores do enunciado):
O que se pede: encontrar escalares
e
tais que
seja uma combinação linear de
e
, isto é, encontrar
e
tais que
.
Passo 2
O que significa “escrever
como combinação linear de
e
”? Significa procurar números reais
e
que multiplicados por
e
e somados produzam
. Em notação:
A técnica direta é igualar componentes: calcular o lado direito, comparar coordenadas e resolver para
e
.
Passo 3
Vamos colocar
e
como incógnitas e expandir o lado direito. Primeiro, multiplicação escalar por vetor:
Somando:
Passo 4
Agora igualamos componentes com
Da primeira equação segue
. A terceira é redundante e confirma consistência (
).]
Passo 5
Concluímos que existem
e
que fazem a combinação funcionar; os valores são
e
. Pequena observação útil para a prova: quando os vetores dão um sistema consistente como aqui, a representação existe; se os vetores fossem linearmente dependentes ainda poderia haver inconsistência, mas neste caso
e
são independentes (não são múltiplos um do outro), então, se a combinação existe, ela é única — como aqui.