Questão 2 (1,5 pontos) Dados \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,1) e \vec{w}=(2,3,3), escreva \vec{w} como combinação linear de \vec{u} \mathbf{e} \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para escrever um deles como combinação linear dos outros. Dados (peguei os vetores do enunciado):
  • \vec{u}=(1,0,0)
  • \vec{v}=(0,1,1)
  • \vec{w}=(2,3,3)
O que se pede: encontrar escalares a e b tais que \vec{w} seja uma combinação linear de \vec{u} e \vec{v}, isto é, encontrar a e b tais que \vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.

Passo 2

O que significa “escrever \vec{w} como combinação linear de \vec{u} e \vec{v}”? Significa procurar números reais a e b que multiplicados por \vec{u} e \vec{v} e somados produzam \vec{w}. Em notação:
\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}.
A técnica direta é igualar componentes: calcular o lado direito, comparar coordenadas e resolver para a e b.

Passo 3

Vamos colocar a e b como incógnitas e expandir o lado direito. Primeiro, multiplicação escalar por vetor:
a\vec{u}=a(1,0,0)=(a,0,0), \qquad b\vec{v}=b(0,1,1)=(0,b,b).
Somando:
a\vec{u}+b\vec{v}=(a,0,0)+(0,b,b)=(a,b,b).

Passo 4

Agora igualamos componentes com \vec{w}=(2,3,3)\). Da igualdade \((a,b,b)=(2,3,3)\) obtemos o sistema de equações: \[\begin{cases} a=2,\\[4pt] b=3,\\[4pt] b=3. \end{cases}
Da primeira equação segue a=2\]. Da segunda segue \(b=3. A terceira é redundante e confirma consistência ( 3=3).]

Passo 5

Concluímos que existem a e b que fazem a combinação funcionar; os valores são a=2 e b=3. Pequena observação útil para a prova: quando os vetores dão um sistema consistente como aqui, a representação existe; se os vetores fossem linearmente dependentes ainda poderia haver inconsistência, mas neste caso \vec{u} e \vec{v} são independentes (não são múltiplos um do outro), então, se a combinação existe, ela é única — como aqui.

Resposta

\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}

Exercícios relacionados