Escreva a equação geral da reta 2 x+3 y-2=0 na forma reduzida.

Passo 1

O enunciado dá a equação da reta
2x+3y-2=0
e pede para escrevê-la na forma reduzida. Ou seja, transformar a equação para a forma
y = mx + b
onde m é o coeficiente angular (inclinação) e b é o coeficiente linear (intercepto em y). As informações relevantes que temos são os coeficientes numéricos 2 (de x), 3 (de y) e -2 (termo constante).

Passo 2

O que é a forma reduzida? Vou explicar de forma bem direta:
  • A forma reduzida de uma reta é \;y = mx + b\;.
  • Aqui, m é a inclinação: indica quanto y varia quando x aumenta de 1. Se m>0, a reta sobe; se m<0, a reta desce.
  • b é o valor de y quando x=0 (intercepto em y).
    O objetivo é isolar y na equação dada para identificar m e b.

Passo 3

Isolando y na equação dada. Começo com
2x+3y-2=0.
Primeiro passo: passar os termos que não têm y para o outro lado:
3y = -2x + 2.
Expliquei: subtraiu-se 2x e somou-se 2 aos dois lados. Agora divido ambos os lados por 3 para obter y:
y = \frac{-2}{3}x + \frac{2}{3}.

Passo 4

Interpretação dos coeficientes obtidos:
  • O coeficiente angular é m=\dfrac{-2}{3}. Isso significa que, se x aumentar em 1, então y diminui em \dfrac{2}{3}. Em termos de “rise/run”: subindo 3 unidades em x (vai para a direita 3), y muda -2 (desce 2).
  • O coeficiente linear é b=\dfrac{2}{3}. Isso quer dizer que a reta corta o eixo y no ponto \left(0,\dfrac{2}{3}\right).

Passo 5

Verificação rápida: substituir a expressão de y de volta na equação original para checar se dá zero:
2x+3\!\left(\frac{-2}{3}x+\frac{2}{3}\right)-2 =2x + (-2x + 2) - 2 =0.
Como a expressão simplifica para 0, a transformação está correta.

Passo 6

Exemplos práticos (úteis na prova para desenhar pontos ou conferir cálculos):
  • Para x=0: y=\frac{-2}{3}\cdot 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}, ponto \left(0,\frac{2}{3}\right).
  • Para x=3: y=\frac{-2}{3}\cdot 3 + \frac{2}{3} = -2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}, ponto \left(3,-\frac{4}{3}\right).
Na hora de desenhar: parte do intercepto \left(0,\frac{2}{3}\right) e, a partir daí, avança 3 à direita e desce 2 para achar outro ponto (devido à inclinação -\tfrac{2}{3}).

Resposta

y = \frac{-2}{3}x + \frac{2}{3}

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