Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Vetores.
Como representar um vetor a partir de suas componentes?

Passo 1

O que o enunciado pede: responder como representar um vetor quando são dadas as suas componentes.
Informações relevantes (o que normalmente é dado):
  • Em 2D as componentes são v_x e v_y.
  • Em 3D as componentes são v_x, v_y e v_z.
  • Às vezes o vetor vem como diferença entre dois pontos A(x_1,y_1) e B(x_2,y_2); neste caso as componentes podem ser obtidas a partir das coordenadas dos pontos.

Passo 2

O que são as componentes e como obtê‑las a partir de pontos:
  • As componentes são os “pedacinhos” do vetor ao longo de cada eixo cartesiano (projeções no eixo x, y, e z).
  • Se um vetor vai do ponto A(x_1,y_1) até B(x_2,y_2), suas componentes em 2D são
v_x = x_2 - x_1,\qquad v_y = y_2 - y_1.
Explanação: subtrair as coordenadas dá quanto o vetor avança em x e em y; isso é direto da definição de deslocamento.

Passo 3

Representação com vetores unitários (forma mais usada em provas):
  • Em 2D escreve‑se
\vec{v} = v_x\,\hat{i} + v_y\,\hat{j},
onde \hat{i} = (1,0) é o vetor unitário em x e \hat{j} = (0,1) é o vetor unitário em y.
  • Em 3D escreve‑se
\vec{v} = v_x\,\hat{i} + v_y\,\hat{j} + v_z\,\hat{k},
com \hat{k}=(0,0,1).
Explicação: cada componente multiplica o vetor unitário na direção daquele eixo; a soma dá o vetor total.

Passo 4

Representação matricial (coluna de coordenadas), prática para cálculos:
\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\[4pt] v_y \end{pmatrix} \quad\text{em 2D, e}\quad \vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\[4pt] v_y \\[4pt] v_z \end{pmatrix} \quad\text{em 3D.}
Explicação: é só escrever as componentes em coluna; útil quando vai multiplicar por matrizes ou somar vetores.]

Passo 5

Como obter a magnitude (comprimento) a partir das componentes:
  • Em 2D
|\vec{v}| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}.
  • Em 3D
|\vec{v}| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2} + v_z^{2}}.
Por que: é o teorema de Pitágoras generalizado — a magnitude é a distância do ponto (0,0) até (v_x,v_y).

Passo 6

Como obter a direção (ângulo) a partir das componentes (modo prático para provas):
  • O ângulo \theta medido a partir do eixo x satisfaz
\theta = \operatorname{atan2}(v_y,\,v_x).
Explicação: a função \operatorname{atan2} resolve o problema do sinal e do quadrante (é melhor que usar simplesmente \arctan(v_y/v_x)). Se preferir usar razões trigonométricas, as componentes também satisfazem
v_x = |\vec{v}|\cos\theta,\qquad v_y = |\vec{v}|\sin\theta.

Passo 7

Unidade de direção (vetor unitário na direção de \vec{v}):
\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \left(\frac{v_x}{|\vec{v}|},\,\frac{v_y}{|\vec{v}|}\right).
Usar quando a prova pede direção normalizada ou projeções.

Passo 8

Exemplo numérico passo a passo (faça assim na prova): seja \vec{v} com componentes v_x=3 e v_y=4.
  • Escreve a forma com vetores unitários: \vec{v}=3\hat{i}+4\hat{j}.
  • Magnitude: |\vec{v}|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Vetor unitário: \hat{v}=(3/5,\,4/5).
  • Ângulo: \theta=\operatorname{atan2}(4,3) (aprox. 53{,}13^\circ se pedir em graus).
    Comentário amigo: segue um passo a passo direto que dá pra fazer sem complicação na hora da prova.

Passo 9

Receita rápida para aplicar em prova (resumo prático):
  • Se te dão pontos A e B: faz v_x=x_2-x_1, v_y=y_2-y_1.
  • Escreve \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j} ou \vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\v_y\end{pmatrix}.
  • Se pedirem módulo: calcula |\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
  • Se pedirem direção: usa \theta=\operatorname{atan2}(v_y,v_x).
  • Se pedirem vetor unitário: \hat{v}=\vec{v}/|\vec{v}|.
    Vai com calma: siga essas etapas e resolve a maioria dos exercícios de vetores.

Resposta

\vec{v}=v_x\,\hat{i}+v_y\,\hat{j} (em 2D) \;=\begin{pmatrix}v_x\\[4pt]v_y\end{pmatrix},\quad magnitude |\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}},\quad direção \theta=\operatorname{atan2}(v_y,v_x).]

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