Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Vetores.
Como representar um vetor a partir de suas componentes?
Passo 1
O que o enunciado pede: responder como representar um vetor quando são dadas as suas componentes.
Informações relevantes (o que normalmente é dado):
Em 2D as componentes são v_x e v_y.
Em 3D as componentes são v_x, v_y e v_z.
Às vezes o vetor vem como diferença entre dois pontos A(x_1,y_1) e B(x_2,y_2); neste caso as componentes podem ser obtidas a partir das coordenadas dos pontos.
Passo 2
O que são as componentes e como obtê‑las a partir de pontos:
As componentes são os “pedacinhos” do vetor ao longo de cada eixo cartesiano (projeções no eixo x, y, e z).
Se um vetor vai do ponto A(x_1,y_1) até B(x_2,y_2), suas componentes em 2D são
v_x = x_2 - x_1,\qquad v_y = y_2 - y_1.
Explanação: subtrair as coordenadas dá quanto o vetor avança em x e em y; isso é direto da definição de deslocamento.
Passo 3
Representação com vetores unitários (forma mais usada em provas):
Em 2D escreve‑se
\vec{v} = v_x\,\hat{i} + v_y\,\hat{j},
onde \hat{i} = (1,0) é o vetor unitário em x e \hat{j} = (0,1) é o vetor unitário em y.
Explicação: é só escrever as componentes em coluna; útil quando vai multiplicar por matrizes ou somar vetores.]
Passo 5
Como obter a magnitude (comprimento) a partir das componentes:
Em 2D
|\vec{v}| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2}}.
Em 3D
|\vec{v}| = \sqrt{v_x^{2} + v_y^{2} + v_z^{2}}.
Por que: é o teorema de Pitágoras generalizado — a magnitude é a distância do ponto (0,0) até (v_x,v_y).
Passo 6
Como obter a direção (ângulo) a partir das componentes (modo prático para provas):
O ângulo \theta medido a partir do eixo x satisfaz
\theta = \operatorname{atan2}(v_y,\,v_x).
Explicação: a função \operatorname{atan2} resolve o problema do sinal e do quadrante (é melhor que usar simplesmente \arctan(v_y/v_x)). Se preferir usar razões trigonométricas, as componentes também satisfazem
Ângulo: \theta=\operatorname{atan2}(4,3) (aprox. 53{,}13^\circ se pedir em graus).
Comentário amigo: segue um passo a passo direto que dá pra fazer sem complicação na hora da prova.
Passo 9
Receita rápida para aplicar em prova (resumo prático):
Se te dão pontos A e B: faz v_x=x_2-x_1, v_y=y_2-y_1.
Escreve \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j} ou \vec{v}=\begin{pmatrix}v_x\v_y\end{pmatrix}.
Se pedirem módulo: calcula |\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Se pedirem direção: usa \theta=\operatorname{atan2}(v_y,v_x).
Se pedirem vetor unitário: \hat{v}=\vec{v}/|\vec{v}|.
Vai com calma: siga essas etapas e resolve a maioria dos exercícios de vetores.
Resposta
\vec{v}=v_x\,\hat{i}+v_y\,\hat{j} (em 2D) \;=\begin{pmatrix}v_x\\[4pt]v_y\end{pmatrix},\quad magnitude |\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}},\quad direção \theta=\operatorname{atan2}(v_y,v_x).]