Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,-3) e B(2,3).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,-3) e B(2,3).
Informações dadas:
  • Coordenadas do ponto A: x_A = -1, y_A = -3.
  • Coordenadas do ponto B: x_B = 2, y_B = 3.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a inclinação (coeficiente angular) da reta, chamada de m. A inclinação mede quanto a variável y varia quando x varia de uma unidade e é calculada pela fórmula
m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A},
onde x_A,y_A e x_B,y_B são as coordenadas dos dois pontos dados. Aqui cada símbolo significa:
  • x_A e y_A: coordenadas do primeiro ponto ( A);
  • x_B e y_B: coordenadas do segundo ponto ( B);
  • m: coeficiente angular (inclinação) da reta que passa por A e B.
Substituindo os valores:
m=\frac{3-(-3)}{2-(-1)}=\frac{6}{3}=2.
Portanto a inclinação da reta é m=2. Observação importante: a fórmula exige que x_B-x_A\neq 0. Aqui x_B-x_A=3\neq0, então tudo certo.

Passo 3

Agora usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta. Essa forma é
y-y_0=m(x-x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto conhecido da reta (pode ser A ou B) e m é a inclinação. Vou usar o ponto A(-1,-3). Substituindo m=2, x_0=-1 e y_0=-3:
y-(-3)=2\bigl(x-(-1)\bigr).
Simplificando os sinais:
y+3=2(x+1).

Passo 4

Agora desenvolvemos a expressão e colocamos na forma geral ax+by+c=0, que é a forma pedida (equação geral da reta).
Expandindo o lado direito:
y+3=2x+2.
Passamos todos os termos para o mesmo lado (subtraindo y e subtraindo 2 dos dois lados):
2x+2-(y+3)=0.
Simplificando 2-(3)=-1:
2x - y -1 = 0.
Pronto: essa é a equação geral da reta.

Passo 5

Verificação rápida: vamos checar se o ponto B(2,3) satisfaz a equação 2x-y-1=0. Substituindo x=2, y=3:
2\cdot 2 - 3 -1 =4-3-1=0.
Como dá 0, o ponto B também pertence à reta — verificação completa.

Passo 6

Interpretação e dica prática para prova:
  • A forma geral encontrada é \,2x-y-1=0.
  • Se preferir a forma explícita (inclinação-intercepto), isolando y obtemos
y=2x-1,
ou seja, a reta tem coeficiente angular 2 e coeficiente linear (ordenada na origem) -1.
Dica: para dois pontos use sempre a fórmula da inclinação e depois a forma ponto-inclinação; evite calcular a ordenada na origem diretamente para não errar sinais.

Resposta

2x - y - 1 = 0

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