(a) Escreva uma equação para o gráfico obtido, através de uma expansão vertical de fator 2 , do gráfico de y=x^2, seguido de uma translação vertical de 1 unidade para cima. Esboce o gráfico.
(b) Qual é a equação, se a ordem das transformações (expandir e transladar), na parte (a), for trocada?
(c) Os dois gráficos são iguais? Explique o efeito de trocar a ordem das transformações.

Passo 1

O enunciado parte da parábola básica
y = x^2
e pede duas transformações: primeiro uma expansão vertical de fator 2 (que multiplica todas as ordenadas por 2) e depois uma translação vertical de 1 unidade para cima (que soma 1 a todas as ordenadas). Vamos usar esses dois conceitos para obter a nova equação e depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Aplicando primeiro a expansão vertical de fator 2, cada valor y de x^2 vira 2y. Logo a função intermediária é
y1 = 2 ,x^2

Passo 3

Em seguida traduzimos esse gráfico 1 unidade para cima, somando 1 a y1. Assim obtemos
y2 = y1 + 1 = 2,x^2 + 1
Esboço: uma parábola mais “estreita” que y=x^2, com vértice em (0,1).

Passo 4

Agora invertemos a ordem das operações. Primeiro transladamos y=x^2 para cima em 1, obtendo
y1' = x^2 + 1,
e depois aplicamos a expansão vertical de fator 2 sobre esse novo gráfico:
y2' = 2,y1' = 2,(x^2 + 1) = 2,x^2 + 2

Passo 5

Comparando
y2 = 2,x^2 + 1 e y2' = 2,x^2 + 2
vemos que eles diferem numa constante: o vértice de y2 está em (0,1) e o de y2' em (0,2). A tradução feita antes da expansão é “esticada” pelo fator 2, por isso trocar a ordem muda o resultado final.

Resposta

(a) ;y = 2,x^2 + 1. Esboço: parábola de vértice em (0,1), mais estreita que y=x^2.
(b) ;y = 2,(x^2 + 1) = 2,x^2 + 2.
(c) Não são iguais, pois ao transladar primeiro e depois esticar, o deslocamento vertical também é multiplicado pelo fator de estiramento.

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