(a) Escreva uma equação para o gráfico obtido, através de uma expansão vertical de fator 2 , do gráfico de
, seguido de uma translação vertical de 1 unidade para cima. Esboce o gráfico.
(b) Qual é a equação, se a ordem das transformações (expandir e transladar), na parte (a), for trocada?
(c) Os dois gráficos são iguais? Explique o efeito de trocar a ordem das transformações.
(b) Qual é a equação, se a ordem das transformações (expandir e transladar), na parte (a), for trocada?
(c) Os dois gráficos são iguais? Explique o efeito de trocar a ordem das transformações.
Passo 1
O enunciado parte da parábola básica
e pede duas transformações: primeiro uma expansão vertical de fator 2 (que multiplica todas as ordenadas por 2) e depois uma translação vertical de 1 unidade para cima (que soma 1 a todas as ordenadas). Vamos usar esses dois conceitos para obter a nova equação e depois esboçar o gráfico.
Passo 2
Aplicando primeiro a expansão vertical de fator 2, cada valor
de
vira
. Logo a função intermediária é
Passo 3
Em seguida traduzimos esse gráfico 1 unidade para cima, somando 1 a
. Assim obtemos
Esboço: uma parábola mais “estreita” que
, com vértice em
.
Passo 4
Agora invertemos a ordem das operações. Primeiro transladamos
para cima em 1, obtendo
e depois aplicamos a expansão vertical de fator 2 sobre esse novo gráfico:
Passo 5
Comparando
vemos que eles diferem numa constante: o vértice de
está em
e o de
em
. A tradução feita antes da expansão é “esticada” pelo fator 2, por isso trocar a ordem muda o resultado final.
Resposta
(a)
. Esboço: parábola de vértice em
, mais estreita que
.
(b) .
(c) Não são iguais, pois ao transladar primeiro e depois esticar, o deslocamento vertical também é multiplicado pelo fator de estiramento.
(b)
(c) Não são iguais, pois ao transladar primeiro e depois esticar, o deslocamento vertical também é multiplicado pelo fator de estiramento.