Escreva a equação de Henderson-Hasselbach para uma solução de ácido fórmico. Calcule o quociente \left[\mathrm{HCO}_{2}{ }^{-}\right. ]/[ \mathrm{HCO}_{2} \mathrm{H} ] em
a) \mathrm{pH}=3,00,
b) \mathrm{pH}=3,744
c) 4,00 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Escrever a equação de Henderson–Hasselbalch para uma solução de ácido fórmico.
  • Calcular o quociente \left[\mathrm{HCO}_{2}^{-}\right]/\left[\mathrm{HCO}_{2}\mathrm{H}\right] nos três casos: \mathrm{pH}=3{,}00, \mathrm{pH}=3{,}744 e \mathrm{pH}=4{,}00.
Informação que vou usar (constante do ácido fórmico): vou adotar o valor usual do \mathrm{p}K_a do ácido fórmico à temperatura ambiente,
\mathrm{p}K_a(\text{ácido fórmico}) = 3{,}744.áó
Escolhi esse valor porque é o valor padrão e permite que o caso (b) (onde \mathrm{pH}=3{,}744) caia exatamente em \mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a, o que simplifica a interpretação.

Passo 2

Breve aula: origem da equação de Henderson–Hasselbalch (explicação passo a passo).
  • Reação de ionização do ácido fraco \mathrm{HCO}_2\mathrm{H} (ácido fórmico):
\mathrm{HCO}_2\mathrm{H} \rightleftharpoons \mathrm{H}^+ + \mathrm{HCO}_2^{-}.
  • Constante de acidez \mathrm{K}_a é definida por
\mathrm{K}_a=\frac{[\mathrm{H}^+]\,[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]}.
Aqui, cada símbolo significa:
  • [\mathrm{H}^+] : concentração de íons hidrogênio (mol·L^{-1}).
  • [\mathrm{HCO}_2^{-}] : concentração do ânion formiato.
  • [\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}] : concentração do ácido não ionizado.
  • \mathrm{K}_a : constante de acidez (número adimensional).
  • Tomando logaritmo decimal e reorganizando, define-se \mathrm{p}K_a e \mathrm{pH}:
\mathrm{p}K_a = -\log_{10}\mathrm{K}_a,\qquad \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^+].
  • Substituindo e isolando a razão [\mathrm{HCO}_2^{-}]/[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}] chega-se à forma prática conhecida como equação de Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]}\right).

Passo 3

Rearranjamento útil para calcular o quociente pedido:
  • Subtrair \mathrm{p}K_a dos dois lados:
\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a=\log_{10}\!\left(\frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]}\right).
  • Aplicar a função 10^{(\cdot)} em ambos os lados para eliminar o logaritmo:
\frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]} = 10^{\,\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a}.
Portanto, para qualquer \mathrm{pH} dado, basta calcular \Delta=\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a e então \,10^{\Delta}.

Passo 4

Cálculo para o item (a): \mathrm{pH}=3{,}00.
  • Calcular a diferença:
\Delta = \mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a = 3{,}00 - 3{,}744 = -0{,}744.
  • Portanto
\frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]} = 10^{-0{,}744}.
  • Como fazer 10^{-0{,}744} manualmente (truquinho): escreva -0{,}744 = -0{,}301 - 0{,}443 porque 10^{-0{,}301}\approx 0{,}5. Então
10^{-0{,}744}=10^{-0{,}301}\times 10^{-0{,}443}\approx 0{,}5\times 10^{-0{,}443}.
Agora 10^{0{,}443}\approx 2{,}77 (tabela ou aproximação via exponencial), logo 10^{-0{,}443}\approx 1/2{,}77\approx 0{,}361. Multiplicando:
10^{-0{,}744}\approx 0{,}5\times 0{,}361\approx 0{,}181.
Arredondando com três algarismos significativos:
\frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]}\approx 0{,}180.

Passo 5

Cálculo para o item (b): \mathrm{pH}=3{,}744.
  • Diferença:
\Delta = 3{,}744 - 3{,}744 = 0.
  • Então
\frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]} = 10^{0} = 1.
Interpretação rápida: quando \mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a as concentrações de ácido e base conjugada são iguais.

Passo 6

Cálculo para o item (c): \mathrm{pH}=4{,}00.
  • Diferença:
\Delta = 4{,}00 - 3{,}744 = 0{,}256.
  • Então
\frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]} = 10^{0{,}256}.
  • Para calcular 10^{0{,}256}: usar 10^{0{,}256}=e^{(\ln 10)(0{,}256)} ou aproximações por tabela. Com \ln 10\approx 2{,}302585 temos expoente aproximadamente 0{,}256\times2{,}302585\approx0{,}589, e e^{0{,}589}\approx1{,}80. Portanto
10^{0{,}256}\approx 1{,}80.
Assim
\frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]}\approx 1{,}80.

Passo 7

Resumo interpretativo rápido (útil para a prova):
  • Se \mathrm{pH}<\mathrm{p}K_a (caso a), o ácido predomina e a razão é menor que 1.
  • Se \mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a (caso b), as espécies ácido e base estão em igual concentração.
  • Se \mathrm{pH}>\mathrm{p}K_a (caso c), a base conjugada predomina e a razão é maior que 1.
    Boa! Você já consegue aplicar a equação direto na prova: calcular \Delta=\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a e tirar 10^{\Delta}.

Resposta

\displaystyle (a)\\ \frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]}\approx 0{,}180
\displaystyle (b)\\ \frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]}=1{,}00
\displaystyle \text{(c)}\\ \frac{[\mathrm{HCO}_2^{-}]}{[\mathrm{HCO}_2\mathrm{H}]}\approx 1{,}80

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