Escreva a equação de Henderson-Hasselbalch para uma solução de ácido fórmico. Calcule o quociente \left[\mathrm{HCO}_{2}{ }^{-}\right] /\left[\mathrm{HCO}_{2} \mathrm{H}\right] em (a) \mathrm{pH}=3,000 ;

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Escrever a equação de Henderson–Hasselbalch para uma solução de ácido fórmico.
  • Calcular o quociente \left[\mathrm{HCO}_2^{-}\right]/\left[\mathrm{HCO_2H}\right] quando \mathrm{pH}=3{,}000.
Informações relevantes dadas e necessárias:
  • \mathrm{pH}=3{,}000.
  • Para o ácido fórmico, a constante de dissociação é aproximadamente \mathrm{K_a}=1{,}78\times10^{-4} (valor padrão a 25^\circ\mathrm{C}). A partir disso, \mathrm{p}K_a = -\log_{10}(\mathrm{K_a}) \approx 3{,}75. Vou usar \mathrm{p}K_a=3{,}75 na conta.
  • Espécies químicas: o ácido é \mathrm{HCO_2H} (ácido fórmico) e sua base conjugada é \mathrm{HCO_2}^- (formiato).

Passo 2

Derivação e explicação didática da equação de Henderson–Hasselbalch.
  1. Começamos pela expressão da constante de acidez do ácido genérico \mathrm{HA} (aqui \mathrm{HA}=\mathrm{HCO_2H}):
\mathrm{K_a}=\frac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]},
onde:
  • [\mathrm{H}^+] é a concentração de íons hidrogênio,
  • [\mathrm{A}^-] é a concentração da base conjugada ( \mathrm{HCO_2}^-),
  • [\mathrm{HA}] é a concentração do ácido não dissociado ( \mathrm{HCO_2H}).
  1. Tomamos o logaritmo negativo (base 10) de ambos os lados para relacionar com pH e pKa. Lembrando que \mathrm{pH}=-\log_{10}[\mathrm{H}^+] e \mathrm{p}K_a=-\log_{10}\mathrm{K_a}. Aplicando -\log_{10} em \mathrm{K_a}=\dfrac{[\mathrm{H}^+][\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]} obtemos:
-\log_{10}\mathrm{K_a} = -\log_{10}[\mathrm{H}^+] - \log_{10}\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.
  1. Substituindo definições:
\mathrm{p}K_a = \mathrm{pH} - \log_{10}\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.
  1. Reorganizando para obter a forma mais usada:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log_{10}\frac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}.
Isto é a equação de Henderson–Hasselbalch. Aplicando ao caso do ácido fórmico, basta reconhecer \mathrm{A}^-=\mathrm{HCO_2}^- e \mathrm{HA}=\mathrm{HCO_2H}, então:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log_{10}\frac{\left[\mathrm{HCO}_2^{-}\right]}{\left[\mathrm{HCO_2H}\right]}.
Observação didática: esta equação relaciona o pH da solução com a razão entre a base conjugada e o ácido. Se \mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a, então a razão é 1 (metade em cada forma, em termos de concentrações). Se \mathrm{pH}>\mathrm{p}K_a, há mais base que ácido; se \mathrm{pH}<\mathrm{p}K_a, há mais ácido que base.

Passo 3

Isolar o quociente \dfrac{\left[\mathrm{HCO}_2^{-}\right]}{\left[\mathrm{HCO_2H}\right]} e calcular numericamente para \mathrm{pH}=3{,}000.
  1. Da equação de Henderson–Hasselbalch:
\mathrm{pH} = \mathrm{p}K_a + \log_{10}\frac{\left[\mathrm{HCO}_2^{-}\right]}{\left[\mathrm{HCO_2H}\right]}.
  1. Subtrair \mathrm{p}K_a dos dois lados e aplicar a potência de base 10 para isolar a razão:
\log_{10}\frac{\left[\mathrm{HCO}_2^{-}\right]}{\left[\mathrm{HCO_2H}\right]} = \mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a
\frac{\left[\mathrm{HCO}_2^{-}\right]}{\left[\mathrm{HCO_2H}\right]} = 10^{\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a}.
  1. Substituir valores numéricos: \mathrm{pH}=3{,}000 e \mathrm{p}K_a\approx3{,}75:
\frac{\left[\mathrm{HCO}_2^{-}\right]}{\left[\mathrm{HCO_2H}\right]} = 10^{3{,}000-3{,}75} = 10^{-0{,}750}.
  1. Calcular 10^{-0{,}750}. Uma maneira prática de estimar:
  • Primeiro calcule 10^{0{,}75}=10^{0{,}5}\cdot10^{0{,}25}.
  • Sabemos 10^{0{,}5}=\sqrt{10}\approx3{,}1623 e 10^{0{,}25}\approx1{,}7783.
  • Multiplicando: 10^{0{,}75}\approx3{,}1623\times1{,}7783\approx5{,}623.
  • Logo 10^{-0{,}75}=1/10^{0{,}75}\approx1/5{,}623\approx0{,}1778.
Arredondando a um número conveniente, obtemos aproximadamente 0{,}178.

Passo 4

Interpretação curta (motivacional e útil para prova):
  • O resultado \dfrac{\left[\mathrm{HCO}_2^{-}\right]}{\left[\mathrm{HCO_2H}\right]}\approx0{,}178 significa que, a \mathrm{pH}=3{,}000, a forma ácida predomina: há cerca de 5{,}6 vezes mais ácido não dissociado do que formiato (porque 1/0{,}178\approx5{,}62).
  • Dica para prova: memorize a forma \dfrac{[\mathrm{A}^-]}{[\mathrm{HA}]}=10^{\mathrm{pH}-\mathrm{p}K_a} e aplique direto — é rápido e evita erros com sinais de log.

Resposta

\dfrac{\left[\mathrm{HCO}_2^{-}\right]}{\left[\mathrm{HCO_2H}\right]} \approx 0{,}1778

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