- Escreva a equação de uma onda sinusoidal que se propaga no sentido positivo do eixo
, com amplitude 1.5 m , período 0.04 s e velocidade de propagação
, admitindo que no instante inicial o deslocamento transversal em
era
e a velocidade transversal inicial nesse ponto era negativa.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede: escrever a equação de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo do eixo
(ou seja, forma ). - Dados:
- Amplitude:
. - Período:
. - Velocidade de propagação:
. - Condições iniciais em
e : - Deslocamento:
. - Velocidade transversal inicial em
é negativa.
- Deslocamento:
- Amplitude:
Passo 2
Forma geral e significado dos parâmetros. Uma onda harmônica unidimensional que se propaga no sentido positivo de
pode ser escrita como
Explicando cada símbolo:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento transversal). -
é o número de onda (unidade: rad/m), relacionado ao comprimento de onda por . -
é a frequência angular (unidade: rad/s), relacionada ao período por . -
é a fase inicial (constante de fase, em radianos). - A condição de propagação no sentido positivo de
é o sinal (se fosse sentido negativo seria ).
Passo 3
Calcular a frequência angular
a partir do período
. A fórmula é
Substituindo
,
Passo 4
Calcular o número de onda
usando a relação entre velocidade,
e
:
Substituindo
e
,
Passo 5
Usar a condição do deslocamento inicial em
para determinar a fase
. Da forma geral,
Portanto
Isto dá duas possíveis soluções para
no intervalo
:
ou
. Ainda não escolhemos qual das duas usar; precisamos usar a informação sobre a velocidade inicial.
Passo 6
Examinar a condição da velocidade transversal inicial em
. A velocidade transversal é a derivada temporal:
Em
isso vale
Queremos que essa velocidade seja negativa. Como
e
, o fator
é negativo; para que o produto seja negativo é necessário que
. Entre as duas soluções possíveis para
:
-
está no primeiro quadrante, onde . -
está no segundo quadrante, onde e daria velocidade inicial positiva (não é o que queremos).
Portanto escolhemos
Calculando o valor numérico aproximado,
Passo 7
Fazer um pequeno cheque numérico para confirmar o sinal da velocidade inicial. Calculando
. Então
um valor negativo, como exigido. Tudo consistente.
Passo 8
Substituir
,
,
e
na forma geral da onda e escrever a equação final:
ou, usando o valor numérico aproximado de
,