1. Escreva a equação de uma onda sinusoidal que se propaga no sentido positivo do eixo O X, com amplitude 1.5 m , período 0.04 s e velocidade de propagação 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, admitindo que no instante inicial o deslocamento transversal em x=0 era y=0.8 \mathrm{~m} e a velocidade transversal inicial nesse ponto era negativa.
\left(y(x, t)=1.5 \sin \left(\frac{\pi}{5} x-50 \pi t+0.563\right)\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede: escrever a equação de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo do eixo O X (ou seja, forma kx-\omega t+\varphi).
  • Dados:
    • Amplitude: A=1,5\\ \text{m}.
    • Período: T=0,04\\ \text{s}.
    • Velocidade de propagação: v=250\\ \text{m/s}.
    • Condições iniciais em x=0 e t=0:
      • Deslocamento: y(0,0)=0,8\\ \text{m}.
      • Velocidade transversal inicial em x=0 é negativa.

Passo 2

Forma geral e significado dos parâmetros. Uma onda harmônica unidimensional que se propaga no sentido positivo de x pode ser escrita como
y(x,t)=A\sin\!\big(kx-\omega t+\varphi\big).
Explicando cada símbolo:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento transversal).
  • k é o número de onda (unidade: rad/m), relacionado ao comprimento de onda \lambda por k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
  • \omega é a frequência angular (unidade: rad/s), relacionada ao período por \omega=\dfrac{2\pi}{T}.
  • \varphi é a fase inicial (constante de fase, em radianos).
  • A condição de propagação no sentido positivo de x é o sinal kx-\omega t (se fosse sentido negativo seria kx+\omega t).

Passo 3

Calcular a frequência angular \omega a partir do período T. A fórmula é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Substituindo T=0,04\\ \text{s},
\omega=\frac{2\pi}{0,04}=50\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

Calcular o número de onda k usando a relação entre velocidade, \omega e k:
v=\frac{\omega}{k}\quad\Longrightarrow\quad k=\frac{\omega}{v}.
Substituindo \omega=50\pi e v=250,
k=\frac{50\pi}{250}=\frac{\pi}{5}\\ \text{rad/m}.

Passo 5

Usar a condição do deslocamento inicial em x=0,t=0 para determinar a fase \varphi. Da forma geral,
y(0,0)=A\sin(\varphi)=0,8.
Portanto
\sin(\varphi)=\frac{0,8}{1,5}=\frac{8}{15}.
Isto dá duas possíveis soluções para \varphi no intervalo [0,2\pi): \varphi=\arcsin\!\left(\tfrac{8}{15}\right) ou \varphi=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{8}{15}\right). Ainda não escolhemos qual das duas usar; precisamos usar a informação sobre a velocidade inicial.

Passo 6

Examinar a condição da velocidade transversal inicial em x=0. A velocidade transversal é a derivada temporal:
\frac{\partial y}{\partial t}(x,t)=-A\omega\cos\!\big(kx-\omega t+\varphi\big).
Em x=0,t=0 isso vale
\frac{\partial y}{\partial t}(0,0)=-A\omega\cos(\varphi).
Queremos que essa velocidade seja negativa. Como A>0 e \omega>0, o fator -A\omega é negativo; para que o produto seja negativo é necessário que \cos(\varphi)>0. Entre as duas soluções possíveis para \varphi:
  • \varphi=\arcsin\!\left(\tfrac{8}{15}\right) está no primeiro quadrante, onde \cos(\varphi)>0.
  • \varphi=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{8}{15}\right) está no segundo quadrante, onde \cos(\varphi)<0 e daria velocidade inicial positiva (não é o que queremos).
Portanto escolhemos
\varphi=\arcsin\!\left(\frac{8}{15}\right).
Calculando o valor numérico aproximado,
\varphi\approx0,563\\ \text{rad}.

Passo 7

Fazer um pequeno cheque numérico para confirmar o sinal da velocidade inicial. Calculando \cos(\varphi)=\sqrt{1-\sin^2(\varphi)}=\sqrt{1-(8/15)^2}=\dfrac{\sqrt{161}}{15}\approx0,846. Então
\frac{\partial y}{\partial t}(0,0)=-A\omega\cos(\varphi)\approx-1{,}5\cdot50\pi\cdot0{,}846\approx-199{,}4,
um valor negativo, como exigido. Tudo consistente.

Passo 8

Substituir A, k, \omega e \varphi na forma geral da onda e escrever a equação final:
y(x,t)=1{,}5\sin\!\left(\frac{\pi}{5}x-50\pi t+\arcsin\!\left(\frac{8}{15}\right)\right)
ou, usando o valor numérico aproximado de \varphi,
y(x,t)=1{,}5\sin\!\left(\frac{\pi}{5}x-50\pi t+0{,}563\right).

Resposta

y(x,t)=1{,}5\sin\!\left(\dfrac{\pi}{5}x-50\pi t+0{,}563\right)

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