Determine a posição relativa dos planos abaixo, sua interseção e ângulo :
2 x-2 y+6 z=6 e x=-3 p-q, y=-q, z=p

Passo 1

O enunciado fornece duas descrições de planos e pede três coisas:
  • Plano A (em forma cartesiana): 2x-2y+6z=6.
  • Plano B (em forma paramétrica): x=-3p-q,\; y=-q,\; z=p, onde p e q são parâmetros.
O que é pedido:
  1. A posição relativa entre os dois planos (são paralelos, coincidentes ou concorrentes com uma reta?).
  2. A interseção entre eles (se existir, qual é).
  3. O ângulo entre os planos.

Passo 2

Interpretar o plano paramétrico (Plano B) em termos de vetores-direção e ponto:
  • Escrevendo a posição genérica do Plano B como vetor \mathbf{r}(p,q):
\mathbf{r}(p,q)=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-3p-q\\\ -q\p\end{pmatrix} = p\begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}+q\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Assim, dois vetores-direção do Plano B são
\mathbf{d}_1=\begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{d}_2=\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix}.
  • Observação útil (que usarei depois): para p=q=0 obtemos o ponto \mathbf{r}(0,0)=(0,0,0). Logo o Plano B passa pela origem.

Passo 3

Encontrar o vetor normal do Plano B usando o produto vetorial:
  • Para um plano dado por dois vetores-direção \mathbf{d}_1 e \mathbf{d}_2, um vetor normal \mathbf{n}_B é \mathbf{n}_B=\mathbf{d}_1\times\mathbf{d}_2.
  • Calcular o produto vetorial:
\mathbf{n}_B= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -3 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 0 \end{vmatrix} =\begin{pmatrix} 0\cdot 0 - 1\cdot(-1)\\[4pt] -(-3\cdot 0 - 1\cdot(-1))\\[4pt] -3\cdot(-1) - 0\cdot(-1) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.
  • Assim \mathbf{n}_B=(1,-1,3).]

Passo 4

Identificar o vetor normal do Plano A (diretamente da equação):
  • A equação 2x-2y+6z=6 tem vetor normal
\mathbf{n}_A=(2,-2,6).

Passo 5

Comparar os normais para decidir se os planos são paralelos, coincidentes ou concorrentes:
  • Verificar se \mathbf{n}_A é múltiplo escalar de \mathbf{n}_B:
\mathbf{n}_A = 2\cdot(1,-1,3)=2\mathbf{n}_B.
  • Como os vetores normais são proporcionais, os planos são paralelos (ângulo entre normais igual a 0 ou \pi). Para saber se são coincidentes, basta verificar se algum ponto do Plano B satisfaz a equação do Plano A.
  • Usar o ponto da Plano B obtido em p=q=0: (0,0,0). Substituir na equação do Plano A:
2\cdot 0 - 2\cdot 0 + 6\cdot 0 = 0 \neq 6.
  • Como a origem (um ponto do Plano B) não satisfaz a equação do Plano A, os planos NÃO são coincidentes. Conclusão: são planos paralelos distintos.

Passo 6

Determinar a interseção:
  • Dois planos paralelos e distintos não se intersectam; a interseção é o conjunto vazio.
  • Portanto a interseção é \varnothing (nenhum ponto em comum).

Passo 7

Calcular o ângulo entre os planos:
  • O ângulo \theta entre dois planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais. A fórmula é
\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_A\cdot\mathbf{n}_B|}{\|\mathbf{n}_A\|\,\|\mathbf{n}_B\|}.
  • Calcular produto escalar e normas:
\mathbf{n}_A\cdot\mathbf{n}_B=(2,-2,6)\cdot(1,-1,3)=2+2+18=22,
\|\mathbf{n}_A\|=\sqrt{2^2+(-2)^2+6^2}=\sqrt{4+4+36}=\sqrt{44}=2\sqrt{11},
\|\mathbf{n}_B\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}.
  • Então
\cos\theta=\frac{22}{(2\sqrt{11})(\sqrt{11})}=\frac{22}{2\cdot 11}=1.
  • Logo \theta=0. (Planos paralelos têm ângulo zero entre si; se fossem orientados em sentidos opostos isto daria \cos\theta=-1 e \theta=\pi, mas tomamos o ângulo agudo entre planos, que é 0.)

Resposta

Planos paralelos distintos.
Interseção: \varnothing (nenhum ponto em comum).
Ângulo entre os planos: \theta=0.

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