1. Escreva a equação do plano determinado pelas retas r: x2=y+1= z-3 e (x, y, z)=(-1,1,0)+t(4,2,2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém as retas
r:x2=y+1=z-3
e
(x,y,z)=(-1,1,0)+t(4,2,2)
O conteúdo aqui é geometria no espaço: para achar o plano, precisamos de um vetor normal ao plano, que podemos obter como produto vetorial entre o vetor diretor de uma das retas e um vetor que ligue um ponto de cada reta.

Passo 2

Parametrizando a reta r, seja lambda o parâmetro. Então
x=2lambda, y=lambda-1, z=lambda+3
Um ponto de r é, por exemplo, para lambda=0,
P=(0,-1,3),
e o vetor diretor de r é
v=(2,1,1)

Passo 3

Para a segunda reta, já temos a forma paramétrica com t. Um ponto de lá é para t=0,
Q=(-1,1,0),
e o vetor diretor é
u=(4,2,2)
Note que u=2,(2,1,1)=2,v, ou seja, as retas são paralelas (mas não coincidentes), e ainda geram um plano em conjunto.

Passo 4

Construa o vetor que liga P a Q:
PQ=Q-P = (-1,1,0)-(0,-1,3)=(-1,2,-3)

Passo 5

O vetor normal ao plano é
n = vtimesPQ =deti&j&k2&1&1-1&2&-3 =(-5,5,5)
Podemos simplificar dividindo por 5, obtendo
n=(-1,1,1)

Passo 6

A equação do plano com normal n=(-1,1,1) passando por P=(0,-1,3) é
ncdotl((x,y,z)-Pr)=0 ;Longrightarrow; (-1,1,1)cdot(x,y,z)-( -1,1,1)cdot P=0
Calculando o termo independente com P:
(-1,1,1)cdot(0,-1,3) = 0 -1 +3 =2
Logo a equação é
-,x + y + z - 2 = 0
ou, rearranjando,
x - y - z + 2 = 0

Resposta

x - y - z + 2 = 0

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