Lembrando que uma matriz diagonalizável A é semelhante a uma matriz diagonal D, mostre que o determinante de A é igual ao produto de seus autovalores. (Dica: det(A B)=det(A) det(B) )

Passo 1

O enunciado afirma que A é uma matriz diagonalizável, ou seja, existe uma matriz invertível P e uma matriz diagonal D tais que
A = P,D,P^-1
O objetivo é mostrar que det(A) coincide com o produto dos autovalores de A (que são justamente as entradas de D). Para isso usaremos a propriedade multiplicativa do determinante
det(AB)=det(A),det(B)

Passo 2

Como A = P,D,P^-1, aplicamos a função determinante em ambos os lados:
det(A) = detl(P,D,P^-1r)

Passo 3

Pela propriedade multiplicativa do determinante, podemos decompor:
detl(P,D,P^-1r) = det(P),det(D),detl(P^-1r)

Passo 4

Sabemos que, para matriz invertível P, vale
detl(P^-1r)=1det(P)
Substituindo na expressão acima:
det(A) = det(P),det(D),1det(P) = det(D)

Passo 5

Por fim, uma matriz diagonal
D=diag(lambda1,lambda2,dots,lambdan)
tem determinante igual ao produto de suas entradas diagonais:
det(D)=lambda1cdotlambda2cdotslambdan =prodi=1^nlambdai

Resposta

Portanto, concluímos que
det(A)=prodi=1^nlambdai,
isto é, o determinante de A é igual ao produto de seus autovalores.

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