Lembrando que uma matriz diagonalizável
é semelhante a uma matriz diagonal
, mostre que o determinante de
é igual ao produto de seus autovalores. (Dica:
)
Passo 1
O enunciado afirma que
é uma matriz diagonalizável, ou seja, existe uma matriz invertível
e uma matriz diagonal
tais que
O objetivo é mostrar que
coincide com o produto dos autovalores de
(que são justamente as entradas de
). Para isso usaremos a propriedade multiplicativa do determinante
Passo 2
Como
, aplicamos a função determinante em ambos os lados:
Passo 3
Pela propriedade multiplicativa do determinante, podemos decompor:
Passo 4
Sabemos que, para matriz invertível
, vale
Substituindo na expressão acima:
Passo 5
Por fim, uma matriz diagonal
tem determinante igual ao produto de suas entradas diagonais:
Resposta
Portanto, concluímos que
isto é, o determinante de
é igual ao produto de seus autovalores.