Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de P(R) são linearmente dependentes:
(b) p=-1+2 t-3 t^2, q=2-4 t+6 t^2

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios em P(R):
p(t) = -1 + 2t - 3t^2, q(t) = 2 - 4t + 6t^2
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Vamos usar a definição: existem escalares a,b, não ambos zero, tais que
a,p(t) + b,q(t) = 0
para todo t?

Passo 2

Escrevendo a soma e coletando coeficientes em cada potência de t, temos
a(-1 + 2t - 3t^2) + b(2 - 4t + 6t^2) = 0
Isto gera o sistema de equações para os coeficientes de 1, t e t^2:
-a + 2b = 0, 2a - 4b = 0, -3a + 6b = 0

Passo 3

Da primeira equação -a + 2b = 0 segue a = 2b. Substituindo em
2a - 4b = 2(2b) - 4b = 0, -3a + 6b = -3(2b) + 6b = 0,
vemos que ambas se anulam automaticamente. Logo há soluções não triviais ( bneq0, a=2b).

Passo 4

Como existe solução (a,b)neq(0,0), os polinômios são linearmente dependentes. Por exemplo, tomando b=1 e a=2 obtém-se
2,p(t) + 1cdotq(t) = 0 Longrightarrow q(t) = -2,p(t)

Resposta

Os vetores p e q são linearmente dependentes.

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