Verifique se os seguintes conjuntos de vetores de P(R) são linearmente dependentes:
(a) p=3-t+2 t^3, q=5+t-t^3

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em P(R), o espaço dos polinômios reais,
p(t)=3 - t + 2t^3, q(t)=5 + t - t^3,
e pede para verificar se eles são linearmente dependentes. Vamos usar a definição: p e q são dependentes se existir combinação não trivial
alpha,p + beta,q = 0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear nula:
alpha,(3 - t + 2t^3) + beta,(5 + t - t^3) ;=; 0
Como isso vale para todo t, igualamos coeficientes de cada potência de t a zero:
- coeficiente de t^0: 3alpha + 5beta = 0,
- coeficiente de t^1: -alpha + beta = 0,
- coeficiente de t^3: 2alpha - beta = 0.

Passo 3

Da segunda equação -alpha + beta = 0 vem
beta = alpha
Substituindo em 2alpha - beta = 0
2alpha - alpha = 0 Longrightarrow alpha = 0
Logo beta=alpha=0.

Passo 4

O único par (alpha,beta) que anula a combinação é o trivial (0,0). Portanto não existe combinação não trivial.

Resposta

Os polinômios p e q são linearmente independentes.

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