Seja g(x)= x & se x<1 3 & se x=1 2-x^2 & se 1<x <= 2 x-3 & se x>2
(a) Calcule, se existirem, os limites.
i. lim x 1^- g(x),
ii. lim x 1 g(x),
iii. lim x 2^- g(x),
iv. lim x 2^+ g(x),
v. lim x 2 g(x),
vi. g(1).
(b) Esboce o gráfico de g.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
g(x)= x, & x<1, 3, & x=1, 2-x^2, & 1<x<=2, x-3, & x>2,
e pede os limites laterais e totais em x=1 e x=2 além de g(1), mais o esboço do gráfico. Vamos usar a definição de limite por ramo e analisar cada intervalo.

Passo 2

Para limxto1^-g(x) o ramo relevante é g(x)=x. Logo,
limxto1^-g(x)=limxto1^-x=1

Passo 3

Para limxto1^+g(x) o ramo é g(x)=2-x^2. Então
limxto1^+g(x)=limxto1^+(2-x^2)=2-1=1
Como os dois limites laterais em 1 coincidem,
limxto1g(x)=1,
enquanto o valor dado é g(1)=3, mostrando descontinuidade em x=1.

Passo 4

Para limxto2^-g(x) usamos g(x)=2-x^2:
limxto2^-g(x)=2-4=-2
Para limxto2^+g(x) usamos g(x)=x-3:
limxto2^+g(x)=2-3=-1
Como -2neq -1, o limite em 2 não existe:
limxto2g(x)não existe ã

Passo 5

Esboço do gráfico de g:
  • Para x<1: reta y=x, com ponto aberto em (1,1).
  • Em x=1: ponto isolado (1,3).
  • Para 1<x<=2: ramo de parábola y=2-x^2, aberto em (1,1) e fechado em (2,-2).
  • Para x>2: reta y=x-3, com ponto aberto em (2,-1).

Resposta

(a)
i. limxto1^-g(x)=1
ii. limxto1g(x)=1
iii. limxto2^-g(x)=-2
iv. limxto2^+g(x)=-1
v. limxto2g(x) não existe
vi. g(1)=3
(b) O gráfico segue os quatro pedaços descritos: reta y=x até x=1 (aberto em (1,1)), ponto isolado em (1,3), parábola y=2-x^2 de (1,1) aberto a (2,-2) fechado, e reta y=x-3 para x>2 (aberto em (2,-1)).

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