Escreva uma equação quadrática que nos permita determinar o polígono que tem 54 diagonais. Encontre o polígono resolvendo essa equação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) escrever uma equação quadrática que permita determinar o polígono que tem 54 diagonais; (2) resolver essa equação e, com isso, encontrar qual é o polígono.
Informações dadas: o número de diagonais é 54. Informação a encontrar: o número de lados n do polígono.

Passo 2

Primeiro vamos entender como contar diagonais em um polígono e montar a equação. Cada vértice de um polígono de n lados pode ser ligado a todos os outros vértices, exceto a ele mesmo e aos seus dois vértices adjacentes. Então, a partir de um vértice há n-3 segmentos que são diagonais (não contam arestas). Isso vale para cada um dos n vértices. Se somarmos diretamente obtemos n(n-3) “ligações”. Mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Por isso o total de diagonais é dado pela fórmula
\text{nº de diagonais}=\frac{n(n-3)}{2}.º
Essa fórmula é muito útil na prova: expliquei o porquê dela (contagem por vértice e divisão por 2 por dupla contagem).

Passo 3

Agora usamos a informação do enunciado: a quantidade de diagonais é 54. Substituindo na fórmula,
\frac{n(n-3)}{2}=54.
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
n(n-3)=108.
Expandindo o produto, obtemos a equação quadrática:
n^{2}-3n-108=0.
Pronto — essa é a equação quadrática pedida.

Passo 4

Vamos resolver a equação \,n^{2}-3n-108=0. Usamos a fórmula quadrática
n=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde, aqui, a=1, b=-3, c=-108. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac = (-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-108)=9+432=441.
A raiz quadrada de 441 é 21. Portanto
n=\frac{3\pm21}{2}.
Isso dá duas soluções:
n_{1}=\frac{3+21}{2}=\frac{24}{2}=12,
n_{2}=\frac{3-21}{2}=\frac{-18}{2}=-9.
Como n representa número de lados, descartamos a solução negativa -9. Então a solução válida é n=12.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): para n=12,
\frac{n(n-3)}{2}=\frac{12\cdot9}{2}=\frac{108}{2}=54,
que é exatamente o número de diagonais dado. Logo está correto. O polígono com 12 lados tem nome: dodecágono.

Resposta

Polígono com 12 lados (dodecágono).

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