Escreva uma equação quadrática que nos permita determinar o polígono que tem 54 diagonais. Encontre o polígono resolvendo essa equação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) escrever uma equação quadrática que permita determinar o polígono que tem
diagonais; (2) resolver essa equação e, com isso, encontrar qual é o polígono.
Informações dadas: o número de diagonais é . Informação a encontrar: o número de lados
do polígono.
Informações dadas: o número de diagonais é
Passo 2
Primeiro vamos entender como contar diagonais em um polígono e montar a equação. Cada vértice de um polígono de
lados pode ser ligado a todos os outros vértices, exceto a ele mesmo e aos seus dois vértices adjacentes. Então, a partir de um vértice há
segmentos que são diagonais (não contam arestas). Isso vale para cada um dos
vértices. Se somarmos diretamente obtemos
“ligações”. Mas cada diagonal foi contada duas vezes (uma vez a partir de cada extremidade). Por isso o total de diagonais é dado pela fórmula
Essa fórmula é muito útil na prova: expliquei o porquê dela (contagem por vértice e divisão por 2 por dupla contagem).
Passo 3
Agora usamos a informação do enunciado: a quantidade de diagonais é
. Substituindo na fórmula,
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Expandindo o produto, obtemos a equação quadrática:
Pronto — essa é a equação quadrática pedida.
Passo 4
Vamos resolver a equação
. Usamos a fórmula quadrática
onde, aqui,
,
,
. Calculamos o discriminante:
A raiz quadrada de
é
. Portanto
Isso dá duas soluções:
Como
representa número de lados, descartamos a solução negativa
. Então a solução válida é
.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): para
,
que é exatamente o número de diagonais dado. Logo está correto. O polígono com
lados tem nome: dodecágono.
Resposta
Polígono com
lados (dodecágono).