1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a ser integrada é
. O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras condições (como valor inicial), então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Relembrando regras básicas de integração que usaremos (explicando com calma):
- Linearidade: a integral da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das integrais. Ou seja,
- Constante multiplicativa: uma constante pode sair da integral:
onde
é uma constante.
- Regra do polinômio (regra da potência): para
,
Aqui
é um número real e
é a constante de integração.
- Integral da exponencial: a função exponencial tem a propriedade simples
porque a derivada de
é
mesma.
Como exemplo simples:
(aqui
).
Passo 3
Aplicando a linearidade e a constante multiplicativa à integral dada:
Passo 4
Calculemos a primeira integral usando a regra da potência. Aqui
, então
Multiplicando por
(constante que saiu da integral),
Note que o
pode ser combinado com a constante da outra integral no final, por isso o omitimos neste passo.
Passo 5
Calculemos a segunda integral. Sabemos que
Portanto
(novamente o
será colocado apenas uma vez na combinação final).
Passo 6
Combinando os dois resultados e adicionando a constante de integração única
, obtemos a primitiva completa:
Podemos checar rapidamente: derivando
temos
, que é exatamente a função integranda.