1-(Valor de cada item ; 0,7 pontos) Resolva as integrais abaixo.
\int\left(4 x^{3}-e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(4 x^{3}-e^{x}\right)\,d x.
Informações dadas: a função a ser integrada é 4x^{3}-e^{x}. O que se pede: encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=4x^{3}-e^{x}. Não há outras condições (como valor inicial), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Relembrando regras básicas de integração que usaremos (explicando com calma):
  • Linearidade: a integral da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das integrais. Ou seja,
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
  • Constante multiplicativa: uma constante pode sair da integral:
\int a\,f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx,
onde a é uma constante.
  • Regra do polinômio (regra da potência): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n é um número real e C é a constante de integração.
  • Integral da exponencial: a função exponencial tem a propriedade simples
\int e^{x}\,dx = e^{x}+C,
porque a derivada de e^{x} é e^{x} mesma.
Como exemplo simples: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C (aqui n=2).

Passo 3

Aplicando a linearidade e a constante multiplicativa à integral dada:
\int\left(4 x^{3}-e^{x}\right)\,dx = \int 4x^{3}\,dx - \int e^{x}\,dx = 4\int x^{3}\,dx - \int e^{x}\,dx.

Passo 4

Calculemos a primeira integral usando a regra da potência. Aqui n=3, então
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}+C.
Multiplicando por 4 (constante que saiu da integral),
4\int x^{3}\,dx = 4\cdot\frac{x^{4}}{4} = x^{4}.
Note que o +C pode ser combinado com a constante da outra integral no final, por isso o omitimos neste passo.

Passo 5

Calculemos a segunda integral. Sabemos que
\int e^{x}\,dx = e^{x}+C.
Portanto
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
(novamente o +C será colocado apenas uma vez na combinação final).

Passo 6

Combinando os dois resultados e adicionando a constante de integração única C, obtemos a primitiva completa:
F(x)=x^{4}-e^{x}+C.
Podemos checar rapidamente: derivando F(x) temos F'(x)=4x^{3}-e^{x}, que é exatamente a função integranda.

Resposta

x^{4}-e^{x}+C

Exercícios relacionados