Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto dado:
y=\frac{x-1}{x-2}, (3,2)
Os exercícios a seguir devem ser resolvidos utilizandose a definição de derivada em um ponto pelos seguintes limites
f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva
y = \frac{x - 1}{x - 2}
no ponto (3,2). Para isso, vamos usar o conceito de derivada como coeficiente angular da reta tangente:
f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.

Passo 2

Calculamos primeiro f(3) e f(3+h):
f(3) = \frac{3 - 1}{3 - 2} = 2,
f(3 + h) = \frac{(3 + h) - 1}{(3 + h) - 2} = \frac{2 + h}{1 + h}.
Substituindo no quociente de diferença,
\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{\displaystyle \frac{2 + h}{1 + h} - 2}{h}.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador:
\frac{2 + h}{1 + h} - 2 = \frac{2 + h - 2(1 + h)}{1 + h} = \frac{2 + h - 2 - 2h}{1 + h} = \frac{-h}{1 + h}.
Então
\frac{f(3 + h) - f(3)}{h} = \frac{-h}{1 + h} \cdot \frac{1}{h} = -\frac{1}{1 + h},
e portanto
f'(3) = \lim_{h \to 0} \Bigl(-\tfrac{1}{1 + h}\Bigr) = -1.

Passo 4

Com a derivada m = f'(3) = -1 e sabendo que a reta passa por (3,2), usamos a forma-ponto:
y - y_0 = m\,(x - x_0) \quad\Longrightarrow\quad y - 2 = -1\,(x - 3).
Isolando y,
y - 2 = -x + 3 \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 5.

Resposta

A equação da reta tangente é
\boxed{y = -x + 5}.

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